Reportaž z meziprstí

Noviny opět vypsaly soutěž na reportáž, ačkoliv jejich vlastní reportéři se toulají celým světem, sponzorováni movitými firmami, které si chtějí vylepšit svůj image vůní exotických dálek, místo aby se obávaly, že jejich sponzorství budou zákazníci považovat za svědectví, že je dotyčná firma odírá víc, než je zcela nezbytné.

Ekologičtí horlivci spíše ocení zprávy o nějakém přeteklém hnojišti, odkališti, rumišti či prostě jen o skládkách odpadků, které dokumentují hrůzný stav naší přírody a tak vyhoví jejich sadomasochistickým sklonům.

Úkolem reportéra je zavést čtenáře do míst nebo situací, kam by se sám v životě nedostal, ať už pro nedostatek peněz, odvahy, času nebo jen z pouhé pohodlnosti a zápectnictví.

Pokud vás reportáž neuvede do exotického prostředí nebo neodhalí nějaké tajemství, nejlépe pikantní skandál, předpokládá se, že bude alespoň brilantně napsaná, aby si čtenář při četbě osvěžil mozkové zákruty kudrlinkami umně sestavených vět.

Tak tedy téma. Podíváme se lidem pod prsty, přesněji řečeno mezi prsty. A doufám,že budete sami překvapeni, co mezi nimi najdete. A vůbec to nebude špína za nehty, ale něco zcela nečekaného. Před další četbou si doplňte obvyklé čtenářské vybavení (brýle, káva, pivo?) listem tužšího papíru a tužkou. Nebojte se, nebudete luštit křížovku ani nic psát, ty pomůcky jen prodlouží vaše prsty.

Možná jste četli scifi literaturu, nebo jste alespoň nahlédli do komiksů, které čtou vaše děti nebo vnuci. Tam se to jenom hemží samými hyperprostory čtvrté a vyšší dimenze, singularitami, ve kterých zmizí hladce celé vesmírné koráby včetně osádky a palubních koček, a podobnými termíny, o kterých jste ve škole vůbec neslyšeli a pokud jste je slyšeli, tak jste jim nerozuměli, a když se vám zdálo, že jste jim porozuměli, tak jste si je nedovedli představit. Jasný obraz o nich nemají ani sami matematici, kteří si je vymysleli. Namalovat třeba jen čtyřrozměrnou krychli, která vypadá, jako kdyby jste se dívali na obyčejnou trojrozměrnou krychli opilí a viděli všechno rozmazaně dvakrát a mimo normálních čar ještě další hrany a plochy tak, abyste se v té změti čar vyznali, dá dost přemýšlení.

Vícerozměrná tělesa

Existuje však čtyřrozměrné těleso, které doslova sevřete do obou dlaní.

Nejprve si musíme ujasnit některé základní pojmy o kterých bude řeč. Na to nám postačí ruka jedna. Postavte ji na rovnou plochu stolu tak, aby se desky dotýkaly palec, ukazováček a prostředníček, které by měly vytvořit vrcholy trojúhelníku. Jeho hrany si musíte jen představit, pokud to nedovedete, tak si je můžete nakreslit na papír. A teď si všimněte, že vaše tři prsty tvoří, vždy po dvou, hrany dalších tří trojúhelníků. Ke třem bodům tvořenými konečky prstů si představte čtvrtý někde v dlani mezi prsty. Prostor mezi deskou a vaší dlaní je dost nepravidelný čtyřstěn. Jestli se vám nelíbí, můžete si udělat lepší ze špejlí.

Čtyřstěn je těleso v trojrozměrném prostoru podobně jako je trojúhelník těleso v dvojrozměrném prostoru a hrana trojúhelníka (či jakákoliv úsečka) těleso v jednorozměrném prostoru. Jestli takto definujeme tělesa, vidíme, že mají vždy o jednu hranu víc, než má daný prostor rozměrů. Bod je tedy těleso v prostoru s nula rozměry. Ale pozor, také to platí obráceně a to nám pomůže proniknout do vyšších dimenzí. Hrana trojúhelníku je omezena dvěma body, samotný trojúhelník třemi úsečkami. Už jsme viděli, že hrany čtyřstěnu tvoří čtyři trojúhelníky. Z toho plyne, že každé těleso je pouhou plochou v prostoru s dimenzí o jeden stupeň větší než bylo definováno těleso. Bod je tedy plocha v jednorozměrném prostoru, která jej dělí na dva. Čtyřstěn je pak plocha ze čtvrtého rozměru. Tak se znovu na ten prázdný prostor mezi svými prsty znovu podívejte. S trochou fantazie se můžete na té rovině, neboť je to čtyřrozměrná rovina, i když trochu hrbolatá, klouzat.

Tu rovinu uvidíte, když dostanete úkol nalézt bod, který by byl stejně vzdálený od všech čtyř vrcholů čtyřstěnu. Ale pozor, ten bod nesmí ležet uvnitř plochy, ale musí být mimo ni, tak jako je každý vrchol čtyřstěnu vzdálen od trojúhelníku tvořeného ostatními třemi vrcholy. Až se vám to podaří, dosáhnete stejného stupně matematického osvícení, jako je stav nirvány v mysticismu. Stačí uvidět pouhý bod, který by současně byl a nebyl uprostřed čtyřstěnu a dostanete se do čtvrtého rozměru!

Teď však sepněte obě dlaně, aby se opět dotýkaly jen tři prsty. Spolu s pomyslnými dvěma body v dlaních máte pět vrcholů, které se obyčejným smrtelníkům, odsouzeným žít v trojrozměrném prostoru jeví jako trojstranný dvojitý jehlan omezený 6 trojúhelníky. My se však přesvědčíme, že je to pětirozměrná plocha, tedy čtyřrozměrné těleso. Napřed vezměte mezi prsty list papíru a snadno uvidíte dva čtyřstěny, spojené jednou stěnou představovanou listem papíru. Jsou tvořené oběma dlaněmi. Pak stiskněte mezi dlaně tužku, aby se její konce opíraly o pomyslné vrcholy čtyřstěnů. Teď to chce trochu představivosti, uvědomit si, že tužka je společná hrana tří čtyřstěnů, jejichž další čtyři hrany tvoří dvojice spojených prstů a šestou hranou jsou pomyslné spojnice špiček prstů.

Abyste si ty imaginární hrany lépe představili, propíchněte papír uprostřed tužkou a sevřete jej znovu mezi prsty. Teď tu máte pohromadě pět čtyřstěnů, dva oddělené papírem a tři tužkou. Jenom je nemůžete vidět najednou, protože na to v našem prostoru nemáme dost rozměrů. Musíte si je představovat střídavě, protože se vám v dlaních překrývají. To střídavé představování si jednotlivých ploch čtyřrozměrného tělesa, které se děje v čase, nám doplňuje tři geometrické rozměry čtvrtým. Ale pozor, těch pět čtyřstěnů jenom omezuje vlastní čtyřrozměrný prostor! Musí se vám podařit je všechy odsunout, aby jste zahlédli vnitřek tělesa. Ty čtyřstěny zakrývají jako chrámová opona tajemství čtvrtého rozměru.

Abychom se do něho dostali, musíme svou představivost naučit pohybovat se časem jako doplňujícím rozměrem. Ten má však docela jiné vlastnosti než 3 geometrické rozměry. Naše tělo v něm existuje jako ohnisko unášené jeho proudem, ale naše mysl se v něm pohybuje docela snadno a vniká do libovolné dimenze stejně snadno jako čtenář převracející stránky knihy.

Ostatně, ani ostatní osy našeho prostoru nejsou vzájemně zcela rovnocenné. Jen to zkuste, běžet do strany nebo pozpátku. Stoupat do kopce je mnohem namáhavější než chůze po rovině. Třírozměrný matematický prostor abstrahuje takové rozdíly.

Jestli se vám chce, můžete pokračovat ve studiu vícerozměrných těles stejným způsobem ad libitum. Tužku a papír máte po ruce, nakreslete si 6 bodů, spojte všechny body hranami a najděte všech 6 čtyřrozměrných ploch, které vymezují pětirozměrné těleso.

Pokud máte ve zvyku sepnout k meditaci všechny prsty, tak si občas uvědomte co vše vlastně máte v těch chvílích ve svých dlaních. Jestli se vám dostane osvícení jako zasvěcencům zen budhismu, pak se vám snad podaří nahlédnout dovnitř prostoru, který je pouze zdánlivě prázdný.

Kočka v krabici

Označíme-li vrcholy simplexu koordinátami (5, 0, 0, 0, 0) atd., a spokojíme-li se s kvantovými body, potom uvnitř pětirozměrné plochy a tedy uvnitř čtyřrozměrného prostoru leží jediný bod či buňka (1, 1, 1, 1, 1).

Pokud se vám to nezdá, vraťte se k čtyřstěnu s koordinátami jako u fázového diagramu. Trojúhelníkové stěny mají vždy tři nenulové koordináty a body uvnitř čtyřstěnu čtyři. Ve vyšším rozměru musí být o jednu koordinátu víc.

Vnitřní bod pětirozměrného plošného simplexu leží na přímce spojující vždy dva body v různých trojrozměrných stěnách, třeba bod a: (2,1,1,1,0) a bod z: (0,1,1,1,2). Na orbitě 2130 je dvacet bodů, které vytvářejí deset trasujících přímek protínajících se ve středu simplexu. Jenomže hledaný bod má ve třech stranách koordináty (5/2, 0, 0, 0, 5/2) a ve dvou (0, 5/3, 5/3, 5/3, 0). Odpovídající celočíselné koordináty lze vyjádřit jen jako lineární kombinaci těchto hodnot.

Další potíží je potřeba cesty. Abychom se dostali z bodu a do bodu z, musíme postupovat vždy do nejbližšího bodu na mřížce, který se liší od předchozího vždy jen přesunem dvou jednotek mezi dvěma vektory. Tento požadavek postupu přes sousední body vyplývá ze skutečnosti, že pohyb musí být spojitý.

V trojrozměrném prostoru neexistuje přímková spojnice vedoucí od bodu a k bodu z, ale je nutné se pohybovat oklikou po sousedních hranách. Třeba (2,1,1,1,0)--> (2,1,1,0,1) --> (1,2,1,0,1) --> (0,2,1,1,1) --> (0,1,1,1,2). Bod hledá vnitřek simplexu a při tom bloudí po jeho hranách, takže snadno sklouzne na jinou dráhu, např. (2,1,1,0,1) --> (1,1,2,0,1). Čtyřrozměrný bod, který se octne v trojrozměrném prostoru nemůže nalézt svou klidovou polohu a v zoufalé snaze o nemožné se neustále pohybuje, až se promění ve vlnovou funkci.

Říká se, že kočky mají tuhý život. To platí dvojnásob o kočce, kterou už téměř před 60 léty vymyslel Schrödinger, objevitel vlnových reprezentací mikročástic. Dosud se nemůžeme dohodnout, zda je kočka živá, nebo mrtvá, protože je uzavřena v krabici, ve které je ampule s kyanovodíkem. Pokud je ampule celá, kočka žije. Jestliže se ampule rozbila, je kočka mrtvá. Bez otevření krabice nemůžeme vědět, který ze dvou možných stavů se realizoval.

Schrödinger si vymyslel příklad s kočkou, aby ilustroval problémy, se kterými se musí fyzikové potýkat při popisu vlastností mikročástic pomocí vlnové funkce, při němž zdánlivě selhávají naše praktické zkušenosti, protože ta spojuje zdánlivě se vylučující stavy. Sám Schrödinger byl z toho stavu věcí zmaten a nešťasten.

Kočka v krabici se záhy stala součástí fyzikálního folkloru, podobně jako Maxwellův démon, protože se o ní dá dobře povídat, zejména osobám, které se jinak studiu fyziky vyhýbají. O popularitě kočky svědčí i stať Crease a Manna, nedávno přeložená ve Vesmíru, která referuje o řadě knih, jinak u nás prakticky nedostupných. V těch knihách, které se tváří jako science, ale ve skutečnosti patří do žánru science fiction, se mezi jiným hojně spekuluje o Schrödingerově kočce. Její mňoukání však dosud vytrhuje z dřímoty i účastníky vědeckých symposií.

Pokusil jsem se slavnou kočku rekonstruovat podle současného stavu techniky a ukázat, že ve skutečnosti rozdíl mezi naší zkušeností a vlastnostmi mikrosvěta není tak propastný, jak se zdálo.

Kočka-kyborg

Naše doba vedle celé řady farmakologicky účinných chemikalií použila pro záchranu pacientů přístroje, které v případě potřeby mohou převzít základní životní funkce, jako je dýchání, krevní oběh a výživa. Nejprve to byly železné plíce, vhánějící do plic vzduch místo pravidelných stahů dýchacích svalů, ochromených obrnou. Dnes za nemocné ledviny čistí krev dialyzační přístroje, srdce nahradí, i když jen na krátkou dobu, mechanická čerpadla, v případě poškození nervových center či cest mohou převzít jejich funkce elektronické stimulační přístroje. Autoři science fiction si vymysleli kyborgy, kombinující kybernetická zařízení s živými tkáněmi a tak si můžeme dobře představit kočku tvořenou kombinací přístrojů a částí kočky. O takovém organismu bychom nebyli schopni bez podrobného zkoumání říci, zda je živý či mrtvý. Nebo ještě důrazněji, pro kyborgy ztrácí dělení na živé a mrtvé smysl.

Lékaři dnes pomocí moderní přístrojové techniky dovedou zachránit život pacientů, kteří ještě nedávno beznadějně umírali. To vedlo i k nutnosti znovu definovat příznaky smrti organismu, která se určuje podle vyhasnutí všech mozkových funkcí.Někteří pacienti přežívají díky přístrojům v komatickém stavu mnoho let a často není možné určit, zda přístroje jen oživují mrtvé tělo, nebo přece jen ulehčují život těžce poškozeného organismu.

Soudní rozhodnutí, povolující příbuzným a lékařům vypnout přístroje udržující životní funkce nemocných bez naděje na uzdravení, které se dostaly na stránky denního tisku, svědčí o tom, jak těžké je nyní dospět k jednoznačnému rozhodnutí, zda pacient uvnitř přístrojů je živý či mrtvý a zda přepnutí spínače jej zabíjí, nebo jen dopřává jeho mrtvému tělu pietní klid.

Nejsme-li schopni jednoduše rozhodnout, zda pacient je živý nebo mrtvý, proč nás má udivovat, že nevíme, v jakém stavu je mikročástice, pokud se o něm nepřesvědčíme pokusem?

Pokrok techniky obrací celou argumentaci okolo Schrödingerovy kočky na hlavu. V případě lékařů jsme si jisti, že příčinou jejich nerozhodnosti je jejich neschopnost poznat skutečný stav pacienta. Jak si mohou fyzici v případě mikročástic tvrdit, že už všechno vědí?

Elektron v matrici

Schrödinger uzavřel kočku do krabice, která brání přímému pozorování jejího stavu. My jsme ji obklopili přístroji, které její stav ovlivňují, případně udržují kočku při životě, tak, že by bez nich byla mrtvá.

Fyzikální analogie je očividná. Schrödingerova kočka je v krabici, ve které je pouze ampule s jedem. To lze považovat za analogické známému jednoduchému modelu částice v krabici, jejíž rozměry určují základní parametry vlnové funkce. Kočka kyborg odpovídá vlnové funkci v reálné matrici měřícího přístroje. Nebo raději, abychom se vyhnuli diskusi o roli pozorovatele, elektronu obklopenému dalšími mikročásticemi v matrici, která určuje jeho chování. Taková soustava je nesrovnatelně složitější než isolovaný elektron.

Je nesporné, že vlnová funkce může být rozložena na řadu vektorů polohy, jejichž váhy, interpretované kopenhagenskou školou jako pravděpodobnosti, dávají součet 1. Z této vlastnosti vlnové funkce však neplyne, že podobným způsobem lze rozložit elektron, protože elektron není identický s matematickou funkcí, která se jej pokouší popsat. Vlnová funkce může být s elektronem nanejvýš isomorfní.

Elektron se jeví někdy jako částice, jindy jako vlna. Máme tedy dva obrazy jediného vzoru, které se nemohou vylučovat, ale pouze doplňovat. Jestliže vlnová funkce nedokáže adekvátně a hlavně úplně popsat chování elektronu, nemůže si činit nároky na svou jedinečnost jako obrazu elektronu. Důkazy jedinečnosti jsou založeny pouze na autoritě autorů interpretace.

Při troše nadsázky můžeme považovat matematický popis elektronu za jeho inversní funkci v informačním prostoru. Taková funkce je považována za pravdivou, jestliže dá při porovnání se svým vzorem, formálně vyjádřenou prostým násobením, shodu representovanou Kroneckerovou funkcí. Jedinečnost inversní funkce je třeba dokázat a nikoliv jen postulovat.

Popis krabice, ve které byla uzavřena Schrödingerova kočka se zdál být úplný, ačkoliv ve skutečnosti tato krabice představuje experimentální přístroj, ve kterém se pohybuje elektron. Popis i té nejjednodušší fyzikální soustavy vyžaduje simultánní řešení složitých soustav vlnových funkcí. Soustava mikročástic je samozřejmě mnohem komplikovanější než samotný elektron. Její popis vlnovými funkcemi je prakticky nemožný. Elektron je pouze jediným prvkem ve složitých matricích. Není pochyb, že chování elektronu je závislé na vlastnostech prostředí, ve kterém se pohybuje, tak jako život kybernetické kočky je závislý na přístrojích, které s ní tvoří uzavřený systém.

Diskuse

Interpretace vlnové funkce je sice zajímavý problém, ale není základním problémem kvantové mechaniky.

Pro interpretaci soustav mnoha mikročástic je nezbytný pojem mnoharozměrných fázových prostorů. Matematici si začali uvědomovat možnost existence prostorů s více rozměry teprve v posledních třech stech letech, podobně jako existenci imaginárních čísel, ale považovali je za pouhou abstrakci. A tak s nimi zacházeli. Vlastnosti hyperprostorů se vymykají našim zkušenostem a představivosti. Jsou podle Mezeye antiintuitivní. Tak třeba k natření poloviny vnějších stěn krychlového kanistru v Hilbertově prostoru je potřeba víc barvy, než se vejde do takové nekonečně rozměrné nádoby. Takto se dá sice názorně interpretovat odvození konstanty e, avšak uvedení konkrétního příkladu při výuce matematiky by studenty spíše odradilo, než aby jim pomohlo pochopit látku, protože je považujeme za paradoxy odporující naší zkušenosti.

Nedávno se ukázalo, že dva možné popisy molekul, topologický a geometrický, dávají podobné, nikoliv však totožné výsledky. Topologický popis molekul založený na teorii grafů operuje s mnoharozměrnými prostory. Nejjednodušší interpretace výsledků by vyžadovala uznat realitu těchto mnoharozměrných prostorů, ovšem tomu brání naše neschopnost si představit vše, co přesahuje náš omezený horizont.

Problém tušil již dávno Platon a popsal jej sugestivně na začátku sedmé knihy své Ústavy. Pokud vezmeme jeho podobenství o světě idejí doslova, potom tato pasáž jasnozřivě odhaluje naše dnešní problémy. Představa, že jsme jen balíky vlnových funkcí, je stejně děsivá jako představa, že žijeme v jeskyni a vidíme jen stíny předmětů promítaných do našeho vězení. Jsme uvězněni v trojrozměrném prostoru jako v jeskyni a jen s námahou se dostáváme na světlo. V době stereoskopické televize nás nemusí překvapovat, že stíny, vrhané mikročásticemi z hyperprostoru, mohou být trojrozměrné.

Současné teorie mikročástic pracují s prostory o 10, 26 i více rozměrech, nutných pro popsání dalších vlastností mikročástic než jsou tři vektory polohy. Ale stále jsou přidané údaje považovány pouze za matematickou konstrukci. Potíže s lokalizací mikročástic pomocí vlnové funkce jsou pouze podružné. Největším problémem interpretace kvantové mechaniky je naše neschopnost připustit reálnou existenci prostorů vyšších dimensí.

Svět paradoxů

Od nepaměti museli cestovatelé po návratu vyprávět, co na svých cestách viděli. Některé reportáže zněly tak fantasticky, že lidé jejich autory považovali za lháře, nebo je řadili mezi pohádkáře. Ti si pro své hrdiny s oblibou vymýšleli nesplnitelné úkoly.

Já jsem dostal ve světě, jehož královským sídelním městem jsou Paradoxy, krychlovou plechovku barvy a štětec s úkolem natřít vnější stěny plechovky. Ač jsem se snažil roztírat barvu co nejdokonaleji a neukápla mi ani trocha barvy, došla mi barva dřív, než jsem natřel čtvrtinu těch nesčetných stěn, hran a rohů toho podivného kanistru.

Pokud mne nepovažujete za prášila, tak asi víte, že jsem se vrátil z Hilbertova prostoru, kde jsou takové věci zcela běžné. Hilbertův prostor navštívil už ve starověku Zenon z Eleje. Ve své aporii "Achiles a želva" ukázal, že Achiles potřebuje k tomu, aby dohonil želvu nekonečný počet časových intervalů. Vznikl paradox, každý člověk přece věděl, že želvu snadno dostihne, i když není tak rychlý, jak asi byl Achiles. Později matematici vysvětlili, že Zenonovy intervaly jsou stále kratší a kratší, až jsou tak nicotné, že se jich vejde do toho nejkratšího okamžiku, který jsme schopni vnímat, nekonečně mnoho.

K důkazu stačí nakreslit dvě protínající se čáry. Než na to lidé přišli, trvalo jim to skoro dva tisíce let. Tak dlouhá doba byla potřeba, než jsme si uvědomili, že čas můžeme zobrazit jako vzdálenost. Pokud jedna hrana papíru znamená čas a druhá polohu závodníků na dráze, pak je okamžik, kdy se oba běžci míjí určen polohou průsečíku obou čar, představujících jejich polohy.

Měli jste ve škole s podobnými diagramy potíže? Nic si z toho nedělejte, vždyť tak slavní matematici jako Pythagoras či Euklides o nich neměli ani páru.

Když si nakreslíte dvě přímky (nejjednodušší případ, oba běžci utíkají stálou rychlostí) a mezi ně jako schodiště spojíte polohy závodníků, když Achiles dostihl handikap želvy, její novou polohu, atd., uvidíte, že schody se mezi sbíhajícími čarami rychle zmenšují, až s nimi splynou.

Paradox se vysvětlil a my jsme se přestali divit, stejně jako studenti, kteří nežasnou, když jim profesor matematiky vysvětluje odvození základu přirozených logaritmů, konstanty e. Zkušený pedagog se nespoléhá na zdravý rozum a natěračské zkušenosti svých posluchačů, ale svá tvrzení doloží jen algebraickými důkazy.

Moderní fyzika však před nás postavila Zenonovu aporii v nové verzi: Máme n radioaktivních atomů. Za x minut se rozpadne polovina z nich. Kdy se rozpadne poslední atom? Když si vyneseme počty atomů v následujících intervalech proti sobě, dostaneme analogický diagram jako předtím, jenomže tentokrát se schody, představující jednotlivé intervaly zmenšují jen na obrázku, který představuje logaritmické zobrazení exponenciální funkce.

Ty čtenáře, kteří dosud nezapomněli na školení z marx-leninismu a bojí se idealismu jako čert kříže, bych chtěl ubezpečit, že je nenabádám k žádné ideologické konversi. Snad jsem dokázal, jak je obtížné představit si vícerozměrné prostory. Jestliže existují nezávisle na našem vědomí, tak jsou i podle Lenina naprosto košer. Ostatně, ani sám Platon asi nikdy nepředpokládal, že jeho podobenství se musí brát doslova.