ZENONOVY GRAFY

MILAN KUNZ

Pro inteligentní veřejnost klasického Řecka to byl asi kulturní šok, když jim Zenon1,2 z Eley kolem roku 460 př. Kr. logicky dokázal, že rychlonohý Achilles není schopen dohonit ani želvu, pokud želva dostane nějaký náskok, protože než Achilles doběhne na místo, kde byla původně želva, ta se posune o kus dále a než Achilles doběhne o kus dále, želva se posune o kousek dále a než Achilles doběhne o kousek dále, želva se posune o kousíček dále a než Achilles doběhne o kousíček dále, želva se posune o kousičínek dále a než Achilles doběhne o kousičínek dále, želva se posune o kousičičínek dále a než Achilles doběhne o kousičičínek dále bude želva opět jinde a tak dále ad infinitum, s těmi čiči přestaneme, aby se neseběhly všechny kočky z okolí.

Studenti filozofie a matematiky1 jsou poučováni, že my dne tento paradox za nic podivného nepovažujeme, protože víme, že i součet nekonečné řady může být konečné číslo.

Není však na škodu se zamyslit, co vlastně chybělo starověkým učencům, aby dokázali paradox vyřešit technikou, kterou mistrně ovládali, to znamená geometricky.

Obr.1 Časová projekce rovnoměrného pohybu. Časová osa je normalizována, takže větší rychlost se jeví jako úhlopříčka a. Rychlost pomalejšího pohybu b je poloviční. Časové intervaly, označené kroužky, se stále zmenšují, takže ani jejich nekonečný počet nezabrání protnutí obou drah. Přímka c ukazuje situaci při startu ze stejné polohy (c = b).

Obrázek 1 ukazuje jednoduché řešení, které se nám dnes zdá tak primitivní, že si ani neuvědomujeme, že na něj lidstvo muselo dospívat dva tisíce let. Na obrázku jsou znázorněny normalizované dráhy obou borců. Želva je jen dvakrát pomalejší než Achilles, takže to představuje současně jinou eporii, dichotomii. Předpokládaný rovnoměrný pohyb ukazuje okamžik, kdy se dráhy obou borců protnou bez ohledu na to, kolikrát bychom lákali pomyslnou kočku. Mimo to je vynesena i dráha pomalejšího borce za předpokladu, že oba závodníci vyběhnou současně.

Základem grafu je schopnost představit si čas jako geometrickou veličinu kolmou na dráhu obou těles pohybujících se různou rychlostí. Tato představa se objevila téměř současně s nalezením součtu nekonečné geometrické řady.

Zenonova aporie se však objevila znovu v chemii.

Pokud se pozorný čtenář diví, proč co má Zenonova aporie společného s chemii, pak nemá, podobně jako starověcí učenci dost představivosti.

Exponenciální pohyb

Můj teoreticky založený kolega Rádl kdysi chtěl měřit rychlost monomolekulární reakce, byl však schopen sledovat pouze koncentraci produktu. Z monografie jsme se dozvěděli, že existuje jakási Guggenheimova3 metoda, popsaná v obskurním (alespoň pro nás) časopise. Pokusil jsem se metodu znovu objevit a výsledkem byl jednoduchý způsob, jak z řady koncentrací, stanovených v pravidelných časových intervalech (delta t) se dá vypočítat konstanta rychlosti monomolekulární reakce.

Obr. 2. Ortogonální projekce exponenciálního pohybu. Přímka b platí pro koncentraci produktu, přímka c pro koncentraci eduktu. Přímka d pro reverzibilní reakci, kdy se ustaví rovnováha na úhlopříčce a. Stejné časové intervaly, označené kroužky, se zmenšují jen zdánlivě .

Později jsem zjistil, že Guggenheimova metoda je založena na diferencích koncentrací, zatím co já jsem pracoval s podíly, a tak jsem metodu publikoval4. Brzo na to se objevily sofistikovanější varianty.

Koncentrace produktu (samozřejmě i eduktu) chemické reakce se sledují v pravidelných časových intervalech (delta t). Koncentrace produktu lze psát jako

Pi = E0(1 - exp(-kti))

Pi+1 = E0(1 - exp(-kti))(exp(-kD t)

Dosazením xj = Pi a yj = Pi+1 dostaneme rovnici přímky

yj = a + bxj

z jejíž směrnice se snadno vypočte konstanta reakční rychlosti. Podobnou přímku lze nalézt i pro edukt. Výhodou oproti Guggenheimově metodě, která pracuje s rozdíly koncentrací, je menší citlivost k experimentálním chybám jednotlivých stanovení.

Porovnáme-li obrázek 2 s obrázkem 1, pak kromě toho, že na obrázku 2 je ještě další přímka, jsou obrázky shodné. Rozdílný je ovšem význam obou os, na obrázku 2 jsou vynášeny proti sobě koncentrace v následujících časových intervalech, čas se objevuje jen jako následující body tvořící přímku.

Obrázek není možná tak atraktivní jako složité obrazce atraktorů při složitých oscilujících reakcích, avšak má proti nim jednu výhodu: je jednoduchý a umožňuje pochopit, co se vlastně stalo. Ortogonální transformace převedla exponenciální pohyb na rovnoměrný a zlogaritmovala místo koncentrací časovou osu. Časově ekvidistantní body se objevily na korelační přímce jako geometrická posloupnost. Vynášením koncentrací (P + delta P)/P, případně (E + delta E)/E jsme dostali 1 + delta log P. Rovnoměrný pohyb se stejným způsobem zobrazí jako přímka rovnoběžná s diagonálou.

Geometrická shodnost objevila moderní verzi Zenonovy aporie: Když se v čase delta t rozpadne polovina radioaktivních atomů, kdy se rozpadne poslední atom? S pravděpodobností hraničících s jistotou, abychom se vyjadřovali exaktně, by těch intervalů mělo být podle Zenona nekonečně mnoho a na rozdíl od jeho důmyslných hříček jsou stejně dlouhé, protože ortogonální transformace nemá na ně žádný vliv. Při ukládání radioaktivních odpadů se jeví tato aporie dost bezvýchodná.

Okamžik, kdy se radioaktivní atom rozpadne, nezávisí na tom, kolik má sousedů, ale na jeho vnitřním stavu, na energetických bariérách a podobných představách. Zásadně není vyloučeno, že rozpad není zvratná reakce, že z produktů by mohl za určitých podmínek vznikat edukt. V tom případě se ustaví rovnováha mezi produktem a eduktem, jako na obrázku 2 podle přímky c, kde je zachycena zvratná monomolekulární reakce. Její průběh závisí i na velikosti reakční soustavy. Těmito otázkami se zabýval podrobně v Chemických Listech Šolc5-7 (tři body do citačního skóre za zaslané separáty snad stačí, stejně jsem tomu sotva rozuměl).

Godelizovaný Zenon

Od atomů můžeme přejít opět k obecnějším problémům. Proč jsme neměli obrázek 2 s příslušným vysvětlením v učebnici matematiky a proč se v nich (aspoň v těch co znám) neobjevuje dodnes? Zenonovy aporie mohla vyřešit téměř najednou různými technikami, součtem nekonečné geometrické řady, analytickou geometrií, diferenciálním a integrálním počtem celá řada matematiků. Trvalo však dva tisíce let, než se narodili. Se mnou současně na problému pracovala řada autorů, pouze namátkou8-18, takže to byla jen náhoda, kdo si všimne tak jednoduchého triku. Ani dnes nejsou všechny problémy vyřešeny19.

Objevení grafické logaritmické diferenciace trvalo tak dvě stě let, pokud ovšem tato technika nebyla už dávno někde popsaná a nezapadla ve stozích nečtených archiválií. Jinak je to prý jen speciální případ Lieových grup.

Dalo by se říci, že problémy zrají k řešení jako radioaktivní jádra k rozpadu. Kdo pak problém rozlouskne jako první, je už druhořadé. Jsou popsány i případy čtyřnásobných koincidencí řešení jednoho problému20-23. Konkurence stimuluje vědeckou aktivitu, nutí pracovat rychle a systém grantů si vynucuje produkci publikovatelných výsledků. Současná věda pracuje systémem paralelních počítačů.

To vede k třetí verzi Zenonovy aporie. Brněnský rodák Godel poukázal na to, že podobně jako existují prvočísla, tak může existovat nekonečně mnoho axiomů nutných pro všeobecnou teorii24. Prvočísla mají stejnou mohutnost jako řada přirozených čísel, tak taková váha působila stejně přesvědčivě na moderní filozofy jako kdysi Zenonovy aporie.

Godel nevzal v úvahu, že součet nekonečné řady může být konečné číslo. Jestli se podaří vytvářet teorie stále rychleji, potom ani nekonečný počet axiomů nemusí být kritický.

Věda v posledních stoletích procházela obdobím exponenciálního růstu. Nasazení počítačů neuvěřitelně znásobilo výzkumné kapacity. Takovým způsobem, že sledovat nové informace přesahuje lidské schopnosti. Pokud se kdy podaří vytvořit univerzální teorii s nekonečným počtem axiomů, pak téměř určitě jejími tvůrci budou počítače. Únava z nadbytku vede k moudrosti. Člověk nemůže tu želvu, na jejíž nohách spočívají dle čínského mýty čtyři sloupy držící nebeskou klenbu25, dohonit a tak poznat tajemství vesmíru. Proto je lépe oddat se meditacím zenonového budhismu.

LITERATURA

1. Kolman A.: Dějiny matematiky ve starověku, Academia, Praha, 1968. Str. 96.

2. Znám Š., Bukovský L., Hejný M., Hvorecký J., Riečan B.: Pohľad do dejín matematiky, ALFA, Bratislava, 1986. Str. 60.

3. Guggenheim E. A.: Phil. Mag. 1, 538 (1926).

4. Kunz M.: Chem. Listy 75, 432 (1981).

5. Šolc M.: Chem. Listy 80, 561 (1986).

6. Šolc M.: Collect. Czech. Chem. Commun. 52, 1 (1987).

7. Šolc M.: Chem. Listy 85, 878 (1991).

8. Prater C. D., Silvester A. J., Wei J.: Chem. Eng. Sci. 22, 1587 (1967).

9. Aris R.: Ind. Eng. Chem. 61, 17 (1969)

10. Cleland R.L.: Anal. Chem. 42, 675 (1970).

11. Chen J. C. H., Huntsman W. D.: J. Phys. Chem. 75, 430 (1971).

12. Chen F. W., Fitzgerald T. J.: Ind. Eng. Chem. Process Res. Dev. 16, 59 (1977).

13. Ciurlizza Guizar A., Jimenez P. R. M.: Acta Mex. Cienc. Tecnol. 1975-1976 (Pub. 1978, 9-10, 3. (CA 92, 128184).

14. Ciurlizza Guizar A., Miranda T. V. M., Hernandez C. H.: Acta Mex. Cienc.Tecnol. 1975-1976 (Pub. 1978, 9-10, 13. (CA 92, 58026).

15. Connors K. A.: Anal. Chem. 49,1650 (1977).

16. Pytela O., Večera M., Vetešník P.: Chem. Listy 73, 754 (1979).

17. Leggett D. J.: Talanta 27, 286 (1980).

18. Bacon J.R., Demas J.N.: Anal. Chem. 55, 653 (1983).

19. Chrastil J.: Comput. Chem. 17, 103 (1993).

20. Hansen D. R., Shen M.: Makromolecules 8, 343 (1975).

21. Wang F. W., Di Marcio E. A.: Makromolecules 8, 343 (1975).

22. Stockmayer W. H., Kennedy J. W.: Makromolecules 8, 351 (1975).

23. Wang F. W.: Makromolecules 8, 364 (1975).

24. Thiele R.: Matematické důkazy. Str. 80, SNTL Praha, 1985.

25. Bodde D. v knize: Mytologie starověku (Kramer S., N., Ed.). Str. 324, Orbis, Praha, 1977.