Chemické listy, 1994, číslo 4.

O NĚKTERÝCH VLASTNOSTECH

HEXAPRSTANU

MILAN KUNZ

Došlo dne 1. apríla 1994.

Nedávno jsem zabrousil v Chemical Abstracts do oddílu, který mne zajímal před čtvrt stoletím a narazil jsem na známé jméno a známý styl publikace: Syntetizuj nějakou desítku derivátů, mezi nimi pokud možno aspoň několik dosud nepopsaných, stanov základní fyzikální konstanty a udělej elementární analýzu. Navíc změř třeba pH a výsledky koreluj.

Bylo to, jako když se člověk potká po letech se starým známým a sám sebe se ptá jestli také tak sestárl. Už za mých mladých let to byl vážený akademik a dnes to musí být stařičký kmet. Neověřoval jsem si iniciály, možná živnost předal synovi nebo vnukovi spolu s muzeálními, pečlivě udržovanými aparaturami.

Já vím, dosud nepoznaných derivátů je tolik, že by vystačily na několik životů, ale něco podobného se dá provozovat snad jen v rozlehlých ruských pláních. Ve světě dnes vyletují fullereny jako družice, Japonci protlačují olovo uhlíkovými trubičkami1,2, taková je dnešní chemie. Novými sloučeninami zásobuje Collection v dostatečném výběru třetí svět.

Kdybych se měl dnes vrátit do laboratoře, tak by to chtělo aspoň hmotový spektrograf, aparaturu pro práci v plazmě a několik dalších maličkostí, jako třeba elektronový skanovací mikroskop. Pro začátek bych se pustil do něčeho menšího. Co tak C5?

Před žádostí o grant pro jistotu nahlédneme do Chemical Abstracts. Anion? Kation? Molekula? 1,2 pentadien-4- ynylium či 1,3pentadiyn 1,5 diyl? Aha, tak se to může jmenovat. Jak je vidět, touhle cestou se zřejmě do Evropy vydalo už moc lidí.

Naděje, že bych dostal grant, je tedy menší než molekula, kterou bych nabídl, a s prázdnýma rukama se v laboratoři těžko co podaří. Nicméně, maje prázdné ruce, není člověk zatížen odpovědností za svěřené prostředky a jím odpovídající výsledky a může přemítat. Pěkně sepnout ruce a točit palci. Dvě ruce, to je deset prstů. Prstan, dekaprstan! To zní hrdě, přímo jako název nějaké chemické sloučeniny. Dokonce bych jej dokázal přeložit do angličtiny. Tak se na ty polyfingerany podívejme.

Teď to vlastně začíná

Snad nikdo si neuvědomí, když sepne prsty obou dlaní, že pět styků prstů spolu s dlaněmi vytváří sedmirozměrný plošný simplex. Jeho vlastnosti jsou dost složité a tak raději začneme s pětirozměrným, který se nám jeví jako trigonální bipyramida.

Nejprve si musíme ujasnit některé základní pojmy, o kterých bude řeč. Na to nám postačí ruka jedna. Postavte ji na rovnou plochu stolu tak, aby se desky dotýkaly palec, ukazováček a prostředníček, které by měly vytvořit vrcholy trojúhelníku. Jeho hrany si musíte jen představit, pokud to nedovedete, tak si je můžete nakreslit na papír. A teď si všimněte, že vaše tři prsty tvoří, vždy po dvou, hrany dalších tří trojúhelníků. Ke třem bodům tvořenými konečky prstů si představte čtvrtý někde v dlani mezi prsty.Prostor mezi deskou a vaší dlaní je dost nepravidelný čtyřstěn.

Čtyřstěn je těleso v trojrozměrném prostoru podobně jako je trojúhelník těleso v dvojrozměrném prostoru a hrana trojúhelníku (či jakákoliv úsečka) těleso v jednorozměrném prostoru. Bod je plocha v jednorozměrném prostoru a těleso v prostoru s nulovou dimenzí. Jestli takto definujeme tělesa, vidíme, že mají vždy o jednu hranu víc, než má daný prostor rozměrů. To platí i obráceně a to nám pomůže proniknout do vyšších dimenzí. Hrana trojúhelníku je omezena dvěma body, samotný trojúhelník třemi úsečkami. Už jsme viděli, že hrany čtyřstěnu tvoří čtyři trojúhelníky. Z toho plyne, že každé těleso je pouhou plochou v prostoru s dimenzí o jeden stupeň větší než bylo definováno těleso. Čtyřstěn je tedy plocha ze čtvrtého rozměru. Tak se znovu na ten prázdný prostor mezi svými prsty znovu podívejte.

Tu rovinu uvidíte, když dostanete úkol nalézt bod, který by byl stejně vzdálený od všech čtyř vrcholů čtyřstěnu jako atom uhlíku v methanu. Ale pozor, hledaný bod nesmí ležet uvnitř plochy, ale musí být mimo ni, tak jako je každý vrchol čtyřstěnu leží mimo plochu trojúhelníku tvořeného ostatními třemi vrcholy. Až se vám to podaří, dosáhnete stejného stupně matematického osvícení, jako je stav nirvány v mysticismu. Stačí uvidět pouhý bod, který by současně byl a nebyl uprostřed čtyřstěnu a dostanete se do čtvrtého rozměru!

Teď však sepněte obě dlaně, aby se opět dotýkaly jen tři prsty. Spolu s pomyslnými dvěma body v dlaních máte pět vrcholů, které se nám, obyčejným smrtelníkům, odsouzeným žít v trojrozměrném prostoru jeví jako trojstranný dvojitý jehlan omezený 6 trojúhelníky. My se však přesvědčíme, že je to pětirozměrná plocha, tedy čtyřrozměrné těleso. Napřed vezměte mezi prsty list papíru a snadno uvidíte dva čtyřstěny, spojené jednou stěnou představovanou listem papíru. Jsou tvořené oběma dlaněmi. Pak stiskněte mezi dlaně tužku, aby se její konce opíraly o pomyslné vrcholy čtyřstěnů. Teď to chce trochu představivosti, uvědomit si, že tužka je společná hrana tří čtyřstěnů, jejichž další čtyři hrany tvoří dvojice spojených prstů a šestou hranou jsou pomyslné spojnice špiček prstů.

Abyste si ty imaginární hrany lépe představili, propíchněte papír uprostřed tužkou a sevřete jej znovu mezi prsty. Teď tu máte pohromadě pět čtyřstěnů, dva oddělené papírem a tři tužkou. Jenom je nemůžete vidět najednou, protože na to v našem prostoru nemáme pro ně dost místa. Musíte si je představovat střídavě, protože se vám v dlaních překrývají. Ale to střídavé představování si jednotlivých trojrozměrných stěn čtyřrozměrného tělesa, které se děje v čase, nám doplňuje tři geometrické rozměry čtvrtým. Opět pozor, těch pět čtyřstěnů jenom omezuje vlastní čtyřrozměrný prostor! Musí se vám podařit je všechny odsunout, aby jste zahlédli vnitřek tělesa. Ty tetrahedry zakrývají jako chrámová opona tajemství čtvrtého rozměru.

Lineární kombinace

Označíme-li vrcholy simplexu koordinátami (5, 0, 0, 0, 0) atd., a spokojíme-li se s kvantovými body, potom uvnitř pětirozměrné plochy a tedy uvnitř čtyřrozměrného prostoru leží jediný bod či buňka (1, 1, 1, 1, 1).

Pokud se vám to nezdá, vraťte se k čtyřstěnu s koordinátami jako u fázového diagramu. Trojúhelníkové stěny mají vždy tři nenulové koordináty a body uvnitř čtyřstěnu čtyři. Ve vyšším rozměru musí být o jednu koordinátu víc.

Vnitřní bod pětirozměrného plošného simplexu leží na přímce spojující vždy dva body v různých trojrozměrných stěnách, třeba bod a: (2,1,1,1,0) a bod z: (0,1,1,1,2). Na orbitě 2130 je dvacet bodů, které vytvářejí deset trasujících přímek protínajících se ve středu simplexu. Jenomže hledaný bod má ve třech stranách koordináty (5/2, 0, 0, 0, 5/2) a ve dvou (0, 5/3, 5/3, 5/3, 0). Odpovídající celočíselné koordináty lze vyjádřit jen jako lineární kombinaci těchto hodnot.

Další potíží je potřeba cesty. Abychom se dostali z bodu a do bodu z, musíme postupovat vždy do nejbližšího bodu na mřížce, který se liší od předchozího vždy jen přesunem dvou jednotek mezi dvěma vektory. Tento požadavek postupu přes sousední body vyplývá ze skutečnosti, že pohyb musí být spojitý. Přeskoky do sousedních koordinačních poloh jsou interpretovány i přesmyky chemických sloučenin3.

V trojrozměrném prostoru neexistuje přímková spojnice vedoucí od bodu a k bodu z, ale je nutné se pohybovat oklikou po sousedních. Třeba (2,1,1,1, 0)--> (2,1,1,0,1) --> (1,2,1,0,1) --> (0,2,1,1,1) --> (0,1,1,1,2). Bod hledá vnitřek simplexu a při tom bloudí po jeho hranách, takže snadno sklouzne na jinou dráhu, např. (2,1,1,0,1) --> (1,1,2,0,1). Čtyřrozměrný bod, který se octne v trojrozměrném prostoru nemůže nalézt svou klidovou polohu a v zoufalé snaze o nemožné se neustále pohybuje, až se promění ve vlnovou funkci.

Tak nějak by se musel chovat jeden elektronový pár v molekule C5, pokud by měl tvar trigonální bipyramidy.

Ve studiu polyprstanů by bylo možné pokračovat, avšak oktaprstany a dekaprstany jsou už tak složité, že jejich rozbor vyžaduje inspirativní prostředí nudných schůzí.

Poznámka redakce:

Tento článek není návodem ani ukázkou, jak lze nahrazovat v nových ekonomických podmínkách komerčně nedostupné chemikálie při pokusech zlatými českými ručičkami. Mnoho chemiků se pokouší molekuly modelovat počítači, ale vrtět jenom prsty považujeme za vrchol resignace. Redakce přijala příspěvek vyjímečně s ohledem na datum jeho převzetí.

LITERATURA

M.Kunz (Jurkovičova 13, 63800 Brno) About Properties of Hexafingerane

The trigonal bipyramide, formed by touching 3 fingers of both hands is a model of a 5 dimensional plane (4 dimensional body). Its 4 dimensional sides form a double cover of the inside of the simplex. The inside points of the simplex can be realized in the 3 dimensional space only as linear combinations of points on sides of the simplex.