Sign In Sign-Up

Welcome!

Close

Would you like to make this site your homepage? It's fast and easy...

Yes, Please make this my home page!

No Thanks

  Don't show this to me again.

Close

S překvapením jsem zjistil, že o mé vědecké fejetony, které původně vycházely v internetovém časopise Natura, je v Palmknihách poměrně slušný zájem.

Proto jsem oprášil serii statí o kombinatorice a lineární algebře, které také vycházely v Natuře. Byly původně míněny jako český komentář ke knize Matrix Combinatorix and Algebra, která tam byla prezentována ve formátech ESO a TEX. ESO byl DOSovský český editor, který měl umožňovat matematickou sazbu. Formát TEX je určen pro matematiku. Ve formátu TEX je Matrix Combinatorix and Algebra dostupná na mé stránce mujweb.cz/veda/kunzmilan , případně ji mohu poskytnout ve formátu dvi či pdf.

Čtete scifi časopis a v těch se to jenom hemží samými hyperprostory čtvrté a vyšší dimenze, singularitami, v nichž zmizí hladce celé vesmírné koráby včetně osádky a palubních koček, a mnoha dalšími termíny, které jste ve škole vůbec neslyšeli a pokud jste je slyšeli, tak jste jim nerozuměli, a když se vám zdálo, že jste jim porozuměli, tak jste si je nedovedli představit. Jasný obraz o nich nemají ani sami matematici, kteří si je vymysleli. Když se pokusíte namalovat třeba jen čtyřrozměrnou krychli, pak vypadá, jako kdyby jste se dívali na obyčejnou trojrozměrnou krychli opilí. Uvidíte všechno rozmazaně dvakrát a mimo normálních čar ještě další hrany a plochy takže, dá dost přemýšlení, abyste se v té změti čar vyznali.

Dvojrozměrné těleso je plocha v trojrozměrném prostoru a dělí tento prostor na dvě části. Abychom vymezili trojrozměrné těleso, potřebujeme o jednu o jednu plochu více než má těleso rozměrů, tedy čtyři. Čtyři trojúhelníky vytvoří čtyřstěn, což je trojrozměrné těleso s nejmeším počtem hran (pokud neuvažujeme o kouli a jiných sférických tělesech).

Pak už snadno budeme hledat body (3, 1, 0, 0), ten leží na jedné ze šesti dvojrozměrných hran. Bod (2, 1, 1, 0) leží uvnitř čtyřstěnu asi v polovině jeho výšky a bod (1, 1, 1, 1) leží ve středu čtyřstěnu. Všimněte si, že součet koordinát je vždy čtyři. I kdybychom hledali body s neceločíselnými koordinátami, bude jejich součet opět vždy čtyři. Zavedli jsme také čtyři čísla určující polohy bodů, a vidíme tedy plochu z čtyřrozměrného prostoru.

Nebo se dvě hrany prodlouží a čtyřstěn uvidíme jako čtverec s oběma úhlopříčkami. Takový čtverec je znám jako úplný graf K4, trojúhelník je úplný graf K3. Při sklopení čtyřstěnu do dvojrozměrného prostoru se nám jeho stěny překryly, buď v poměru 3:1 (3 trojúhelníky a trojúhelníková základna) nebo v poměru 2:2 (vždy dva pravoúhlé trojúhelníky nad oběma úhlopříčkami).

Podobný úkaz se projeví, když se pokusíme nahlédnout do pátého rozměru. Použijeme konstrukci vyššího rozměru, která nám přikazuje najít bod ležící mimo daný prostor a spustit z něj spojnice k základnímu prostoru.

Postavte ruku na rovnou plochu stolu tak, aby se desky dotýkaly palec, ukazováček a prostředníček, které by měly vytvořit vrcholy trojúhelníku. Jeho hrany si musíte jen představit, pokud to nedovedete, tak si je nakreslete na papír. A teď si všimněte, že vaše tři prsty tvoří, vždy po dvou, hrany dalších tří trojúhelníků. Ke třem bodům tvořenými konečky prstů si představte čtvrtý někde v dlani mezi prsty. Prostor mezi deskou a vaší dlaní je dost nepravidelný čtyřstěn. Jestli se vám nelíbí, můžete si udělat lepší ze špejlí.

Sepněte obě dlaně, aby se opět dotýkaly jen tři prsty. Spolu s pomyslnými dvěma body v dlaních máte pět vrcholů, které se obyčejným smrtelníkům, odsouzeným žít v trojrozměrném prostoru jeví jako trojstranný dvojitý jehlan omezený 6 trojúhelníky. My se však přesvědčíme, že je to pětirozměrná plocha, tedy čtyřrozměrné těleso. Napřed vezměte mezi prsty list papíru a snadno uvidíte dva čtyřstěny, spojené jednou dvojrozměrnou stěnou představovanou listem papíru. Jsou tvořené oběma dlaněmi. Pak stiskněte mezi dlaně tužku, aby se její konce opíraly o pomyslné vrcholy čtyřstěnů. Teď to chce trochu představivosti, uvědomit si, že tužka je společná hrana tří čtyřstěnů, jejichž další čtyři hrany tvoří vždy dvojice spojených prstů a šestou hranou je pomyslná spojnice špiček prstů.

Abyste si ty imaginární hrany lépe představili, propíchněte papír uprostřed tužkou a sevřete jej znovu mezi prsty. Teď tu máte pohromadě pět čtyřstěnů, dva oddělené papírem a tři tužkou.Jenom je nemůžete vidět najednou, protože na to v našem prostoru nemáme dost místa. Musíte si je představovat střídavě, protože se vám v dlaních překrývají. Ale to střídavé představování si jednotlivých ploch čtyřrozměrného tělesa, které se děje v čase, nám doplňuje tři geometrické rozměry čtvrtým. Ten má však docela jiné vlastnosti než 3 geometrické rozměry. Naše tělo v něm existuje jako ohnisko unášené jeho proudem, ale naše mysl se v něm může pohybovat docela snadno a vnikat do libovolné dimenze.

V teorii grafů jsou vícerozměrná tělesa známá jako úplné grafy (viz kapitolu Grafy).

Teorie grafů se obvykle obejde bez určení rozměru grafu. Zabývá se však možností kreslit grafy, aniž by se jejich dvojrozměrné hrany protínaly. Úplný graf K5 je jedním ze dvou základních nerovinných grafů.

Vícerozměrná tělesa se promítnou do našeho prostoru vždy deformovaně. Jednou z možností je, aby se střídavě objevovaly různé aspekty tělesa. Pokud by mikročástice byly vícerozměrná tělesa, potom by měla v trojrozměrném prostoru kmitat, aby si udržela svůj tvar. Nebo úvahu můžeme obrátit: když se nám něco jeví jako vlna, potom se může jednat o vícerozměrný objekt, který se snaží promítnout do našeho prostoru. Něco podobného předpokládá i teorie strun.

V matematice se pro vícerozměrné prostory používají předpony hyper- nebo nad-, tedy třeba nadrovina. Jiné termíny používané pro vztah plochy a tělesa jsou simplex a komplex.

V následujících kapitolách se budeme zabývat vlastnostmi prostoru podrobněji.

V úvodu jsme se zabývali vícerozměrnými prostory a potížemi, když se snažíme představit si vícerozměrná tělesa či plochy. Pokud se je pokusíme vměstnat do našeho trojrozměrného prostoru, musíme je deformovat.

S mnohorozměrným Euklidovým prostorem je isomorfní (shodný) prostor s daleko měkčí podmínkou pro vztahy mezi jednotlivými vektory. Všechny vektory nemusí být vzájemně kolmé, zcela postačuje, aby každý vektor byl kolmý k součtu všech ostatních vektorů. Tak se nám každý vícerozměrný vektor vejde dokonce na dvojrozměrnou plochu. Tento prostor se v učebnicích označuje jako Hilbertův prostor.

Vektory sečítáme tak, že ke konci prvého vektoru (obvykle se konec označuje šipkou udávající současně směr vektoru) přiložíme počátek druhého vektoru, ke konci druhého vektoru přiložíme počátek třetího vektoru a tak dále.

V Hilbertově prostoru potřebujeme k sečítání čísel pravoúhlý trojúhelník. Vezměte si jej k ruce a zkuste sečíst dvě odvěsny (strany trojúhelníku svírající pravý uhel) jednotkové délky. Přepona se shoduje s úhlopříčkou jednotkového čtverce a její délka je druhá odmocnina ze dvou. Přiložte trojúhelník k přeponě a vztyčte na jednom jejím konci další odvěsnu jednotkové délky. Tato přepona má délku druhé odmocniny ze 3, což je délka úhlopříčky krychle. Úhel mezi prvými dvěma odvěsnami a třetí odvěsnou není pravý. Ovšem pokyn doslova zněl “vztyčte na jednom jejím konci další odvěsnu jednotkové délky”! To jste si měli tu krychli představit a vést třetí odvěsnu kolmo k rovině prvých dvou.

Zmínili jsme nekonečno. Toto číslo je důležité. Pokud to nebude nekonečno, mělo by to být hodně velké číslo, asi takové, jako je Avogadrovo číslo (počty molekul). Pokud máme tolik trojrozměrných vektorů různého směru, pak si můžeme být skoro jisti, že mezi nimi najdeme dva na sebe kolmé. Ani třetí vektor kolmý k rovině prvých dvou, čtvrtý vektor kolmý k rovině prvých tří atd..

Pokud čtverec přepony je součtem čtverců n čísel, potom čtverec jedné z odvěsen má plochu nm² a čtverec druhé odvěsny je součet rozdílu čtverců. Tomu tučnému m (bývá označeno většinou jinak, často jako m s čárou nad písmenem) se říká aritmetický průměr a najde se sečtením všech velikostí vektorů a podělením jejich počtem n.

Druhá odvěsna dá aritmetický průměr m násobený druhou odmocninou čísla n. O tomto číslu jsme si řekli, že je to délka úhlopříčky n-rozměrné krychle. Abychom mohli porovnávat délku druhé odvěsny s aritmetickým průměrem, musíme také tuto délku normalizovat na jednotkovou délku dělením číslem n, respektive po odmocnění druhou odmocninou čísla n. Tento výraz je znám jako rozptyl.

Na zasedání AMS (American Mathematical Society) řekl slavný fysik, nositel Nobelovy ceny, Steve Weinberg toto:

“V roce 1970, v počátcích teorie strun, jsme spolu s Kersonem Huangem pustili do řešení problému, jak určit počet stavů, které se objeví v kmitající struně při dané hmotě. ke je důležitý problém v termodynamice, chcete-li např. znát hustotu energie prázdného prostoru se strunovými fluktuacemi. Zjistili jsme, že počet stavů je ve velmi úzké souvislosti s počtem způsobů, kterými lze celé číslo napsat jako součet celých čísel. Např. 2 lze napsat jedním způsobem jako 1 + 1. 3 lze napsat dvěma způsoby, jako 1 + 1 + 1 nebo 2 + 1 atd. (Weinberg vynechal samotná čísla, která jsou též rozklady čísla). Tento počet se nazývá partitio numerorum a my jsme potřebovali znát, jak vypadá pro velmi velká čísla, což odpovídá velkým hmotám. Problém partitio numerorum byl vyřešen v roce 1918 G. H. Hardym a jeho kolegou Ramanujanem a mne udělalo velkou radost je citovat, neboť Hardy byl znám jako matematik, který byl pyšný na to, že jeho práce nebudou mít nikdy fyzikální aplikace (1).”

Steve Weinberg se mýlil, když se považoval za pionýra použití partitia numerorum ve fyzice a protože jej nikdo z fyziků přítomných na přednášce neopravil, tak jeho chyba svědčí o tom, že prvé použití partitio numerorum ve fyzice bylo dokonale zapomenuto. Došlo k němu dokonce před rokem 1918 a tak o tom nevěděl ani Hardy, protože ke by měl odmítnout se problémem zabývat, když genius Ramanujan přišel s tvrzením, že existuje analytická rovnice pro výpočet tohoto čísla (Hardy Ramanujana především kontroloval a učil jej matematickou techniku).

K zavedení partitio numerorum došlo dokonce před rokem 1905, kdy Planck rozluštil problém světelného záření černého tělesa pomocí kvantové teorie. Primát zavedení kvantové hypotézy má jiný fyzik Ludvík Boltzmann a ke už v roce 1870 (2). Ve snaze dokázat svou rovnici pro termodynamickou entropii, uvedl příklad rozdělení 7 kvant energie mezi 7 částic. Existuje 15 možných rozdělení, které napíšeme jako vektory s klesajícími čísly:

Boltzmann říkal těmto rozdělením komplexiony. Toto slovo se neujalo a proto budeme mluvit o orbitách. Každá orbita odpovídá jednomu rozdělení čísel. Orbity

mají ve fázovém prostoru sférický tvar. Poloměr orbity je určen Euklidovou délkou vektoru. Objem orbity však na této délce nezávisí, protože je určen všemi možnými permutacemi vektorů (u prvé orbity je jich 7, u poslední jen 1). Tyto permutace odpovídají symetrii orbity. Jejich počet se určí poměrně snadno pomocí Newtonova polynomického koeficientu (o tom až později).

Částice termodynamické soustavy si vyměňují energii při vzájemných srážkách. Výměna energie může být symetrická, třeba když částice A má před srážkou energii 4 a částice B má před srážkou energii 3 a po srážce má částice A energii 3 a částice B energii 4, nebo asymetrická, třeba když částice A má před srážkou energii 4 a částice B má před srážkou energii 3 a po srážce má částice A energii 5 a částice B energii 2. Taková srážka změní stav soustavy, a soustava se ocitne na jiné orbitě. Příští srážka může soustavu vrátit na původní orbitu, nebo ji poslat na další orbitu. V termodynamických soustavách je velmi mnoho molekul, ke srážkám dochází téměř současně, takže řada simultánních srážek může termodynamickou soustavu udržovat v prakticky stejném stavu. Boltzmann předpokládal, že termodynamická soustava bude nejdéle na orbitě s největším objemem (nikoliv nejdelší, tam bude prakticky jen na počátku). Pokud bychom uvažovali o celém vesmíru, pak se stavu, kdy jediná částice soustředí celou energii soustavy říká “big bang”).

Logaritmickou míru objemu jednotlivých orbit Boltzmann považoval za ekvivalentní s termodynamickou entropii. K tomuto problému se vrátíme v poslední kapitole.

Ve svém přístupu proti všeobecně přijatým konvencím se jako části rozkladu připouštím nuly (a dokonce záporná celá čísla). ke vychází z Boltzmannova příkladu a vede k některým zajímavým vztahům. Boltzmannův příklad jsem rozvinul do dvojrozměrných tabulek, které ukazují vztahy orbit v mnohorozměrných prostorech. Tyto tabulky jsou velmi užitečné při výpočtech téměř všech kombinatorických identit. Vzhledem k tomu, že jsem je nenašel v encyklopedii (3), jsou asi neznámé, nebo je matematici považují za tak triviální, že se je ani nenamáhají vysvětlovat.

Počet rozkladů čísla M na přesně n částí s největší částí m je stejný jako počet rozkladů na n částí majících největší část n. Tato identita je dokázaná transponováním rozdělení matic F, známých jako Ferrerovy grafy. F(m,n) obsahuje M prvků f(i,j) = 1, jiné prvky jsou nula a f(i,j) > f(i+1,j) nebo f(i,j+1). A transponované rozdělení matice F(n,m) odpovídá rozdělení p(n,m,M).

Odečtením matice F od matice obsahující pouze jednotkové prvky, dostaneme komplementární matici

V důkazu třetí identity použijeme operaci velmi užitečnou pro odvození prvků schémat rozdělení a omezených rozdělení všeho druhu. U omezených rozdělení na přesně n částí majících m jako největší část má (m + n - 1) jednotek vázaných prvky tvořících prvý řádek a sloupec odpovídajících Ferrerových grafů. Jen (M - m - n + 1) prvků jsou volné pro různé rozkladyů v omezeném rámci (m-1) a (n- 1). Tedy

Tento vzorec lze použít pro nalezení všech omezených rozkladů. ke je dosti snadné, pokud rozdíl (M-m-n+1) je menší než omezující hodnoty m, n, nebo alespoň jedna z nich. Řádkové a sloupcové součty částečně omezených rozkladů majících jiné omezující konstanty, kde buď n nebo m může být 1 až M:

Podobný vzorec lze odvodit pro rozklady M na nejvíce N částí. Tyto rozklady mohou mít nulu alespoň v posledním sloupci nebo jsou rozděleny na přesně n částí:

Tabulka 1. Rozklady na přesně n částí

Ve sloupci se klasifikace provádí podle počtu nenulových částí rozkladů. Pro řádky potřebujeme jiný klasifikační příznak. Tím bude délka nejdelšího jednotkového vektoru sloupce m₁. Od všech vektorů rozdělení majících stejný rozměr je nejdelší vektor s nejdelším prvým vektorem. Takové rozmístění jsou ukázány Tabulkách 2 a 3.

Počet of nenulových vektorů v rozkladech bude ukázán jako n, rozměr prvého vektoru jako m. Nuly nebudou zapisovány, aby se ušetřila práce. Závorka (m, n) znamená všechny rozklady čísla m na nejvíce n částí. Poněvadž píšeme rozdělení jako vektor, dovolujeme žádnou část v rozdělení.

6.2 Schéma rozdělení m = 9

6.2 Schéma rozdělení m = 10

Prvých m/2 řádků a posledních n/2 sloupců následujících schémat jsou stejné, tak musí být jejich příslušné součty. Poněvadž celkové sloupcové nebo řádkové součty následujících schémat jsou neklesající, rozdíly, které počítají omezené rozklady musí být také neklesající. Toto je důkaz třetí identity. Jednoduchost ukazuje, že schémata rozdělení jsou dosti užitečným kombinatorickým nástrojeml. Počítají orbity rovin orthogonálních k jednotkovému diagonálnímu vektoru I v přirozeném vektorovém prostoru.

Rovnici 5.2 lze aplikovat na krychli. Ukazuje jejich důležitou vlastnost, krychle jsou symetrické podél hlavní diagonály. Vycházeje z centra koordinát, simplex n až nejvzdálenější vrchol krychle, kde všechny n- koordináty jsou (m-1). Diagonála krychle je představena v Tabulce 5.10 k indexy, mimo to krychle je convexní, proto pokud

Zde vidíme důležitost omezených rozkladů. Z tabulky 5.10 můžeme nalézt rekurenci, která je dána factem, že ve větší krychli je vždy přítomna menší krychle jako její základna. K ní se přidávají nové orbity, které jsou na jejích rozšířených stranách. Avšak je dostatečné znát orbity jedné rozšířené strany, poněvadž jiné strany jsou tvořeny těmito orbitami. Rozšířená strana n-é krychle je (n - 1) rozměrnou krychlí.

Matematika - jednotící prvek vědy, Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, 34 (1989) č.4, str. 202.

G. E. Andrews, The Theory rozkladů, Addison-Wesley Publ. Comp., Reading, MA, 1976, rusky Teoria razbijenij, Nauka, Moskva, 1982.

Představte si rovnostranný trojúhelník. Každou jeho stranu můžete rozpůlit a střed strany spojit s protilehlým vrcholem. Dostaneme tak tři roviny (to jsou v ploše pouhé čáry) symetrie, pravá strana odpovídá levé, podobně jako u lidského těla, pokud nezkoumáme vnitřnosti, které jsou nepárové. Mimo to existuje osa (to je v ploše pouhý bod) ve středu trojúhelníku, podle které lze trojúhelník otáčet. Vždy po otočení o 1,047 radiánů (120 stupňů) se trojúhelník dostane do stejné polohy jako měl dříve, pouze se změní poloha označení vrcholů.

Označíme si vrcholy pravidelného čtyřstěnu (a, b, c, d) a umístíme si čtyřstěn tak, aby vrchol a směřoval k nám. Potom permutace (b, c,d, a) je příkaz k otočení čtyřstěnu tak, aby k nám směřoval vrchol b, vrchol d se otočil na místo původního vrcholu c a vrchol a se přesunul na místo původně zaujímané vrcholem d. Permutace (a, c,d, b) bude otáčet čtyřstěn kolem osy procházející vrcholem a, který při operaci zůstane na svém místě.

Shodu prvků označíme jednotkou v příslušném poli, ostatní pole mají hodnotu nula.

Nejjednodušší permutace jsou ty, ve kterých si vymění místo vždy jen dva prvky. Můžeme si je představit jako jednoduchá telefonní spojení, kdy spolu mluví vždy dva účastníci. Takovým permutacím se říká konvoluce. Jejich počet se dá určit různým číslováním buněk Ferrerových grafů. Tak se dostanou Youngovy tabulky. Ostatní typy permutací získáme násobením Youngových tabulek stejného typu.

Stirlingova čísla druhého druhu se dostanou při počítání jednotkových matic v dolním trojúhelníkovém tvaru, které mají v každém řádku jediný nenulový prvek, ale ve sloupcích počet prvků není omezen. Matice v dolním trojúhelníkovém tvaru mohou mít nenulové prvky jen po hlavní diagonálu (index řádku i se rovná indexu sloupce j). Počet těchto matic je stejný jako počet permutačních matic. Důkaz je podobný. V prvém řádku máme pouze 1 možnost, jak umístit nenulový prvek, v druhém řádku o jednu více, v třetím řádku o dvě více. V předposledním řádku je (n -1) možností a v posledním řádku n možností.

Tabulky, které se dostanou při počítání obou typů Stirlingových čísel, tvoří opět matice, které jsou, pokud se vynásobí alternativně znaménky plus/minus, vzájemně inversní, což znamená, že jejich součin se rovná incidenční matici I, kde jednotkové prvky jsou pouze na diagonále.

Když se umocňuje dvojčlen (binom) (a + b), dostávají se postupně výsledky:

Binomické koeficienty počítají podobné permutace, pouze místo n různých prvků máme jen dva různé prvky a každý se opakuje a nebo b krát. Permutace jednotlivých a nebo b mezi sebou neumíme rozlišit, proto musíme faktoriál n! podělit faktoriály a! a b!. Součet a + b = n. Binomický koeficient, který se obvykle označuje závorkami se dvěma čísly napsanými nad sebou (to na Internetu nevyjde). Je to vlastně podíl n!/a!b!, třeba 5!/3!2! = 120/6x2 = 10.

Pole matice se označují podobně jako adresy domů. U nás není zvykem číslovat ulice jako třeba v USA, ale i název ulice se promění v pořadové číslo v nějakém, třeba abecedním seznamu ulic. Takže adresa pole matice je pořadové číslo řádku i a pořadové číslo sloupce j. Matice má m řádků a n sloupců (někdy se setkáte s transponovanou konvencí, je to podobné jako desetinné čárky nebo tečky, lidé se nedokážou shodnout na nejjednodušších věcech).

Podmínkou pro násobení matic je, aby levá matice měla tolik řádků, kolik má pravá matice sloupců.

Při násobení matice stejnou maticí se dostane její kvadratická forma. Pokud matice není symetrická (což znamená, že se při transponování nezmění, dostanou se dvě kvadratické formy.

Polynomický koeficient je podobně jako binomický koeficient výsledek násobení polynomu, třeba (a + b + c + d). V součinech se objevují posloupnosti jako aaab, aaac, bbbc, ccca. Tyto n permutace jsou dosažitelné jako substituce. V případě binomu byly triviální, jednalo se vždy jen o dvě možnosti, odpovídající n permutacím vektorů, třeba (3,1) na (1,3), nebo jediné možnosti, jako (2,2).

	1	1	1	1	1	1	1
	0	0	1	2	3	4	5
	0	0	0	0	1	3	6
	0	0	0	0	0	0	1
S	1	1	2	3	5	8	13

Boltzmann spojil rozdělení energie s polynomickým koeficientem pro n permutace. Za předpokladu, že energie je kvantována, pak se dá rozdělení energie popsat vektorem. Vzhledem k velkým počtům molekul postačí k popisu stavu soustavy plynu jen počty molekul, které mají určitou energii. Při srážkách si molekuly vyměňují energii. Pokud výměna energie je symetrická, třeba 10 + 5 = 5 + 10, soustava se přemístí ve fázovém prostoru na stejné orbitě.

Když je výměna energie asymetrická, třeba 10 + 5 = 8 + 7, soustava se přemístí ve fázovém prostoru na jinou orbitu. Vzhledem k velkým počtům molekul (vzpomeňte si, že Avogadrovo číslo má přes dvacet nul) dochází k simultánním srážkám, kdy se asymetrické výměny energie vzájemně vyrovnávají, takže se soustava plynu v rovnovážném stavu udržuje na stejné orbitě (nebo pásu orbit).

Černé těleso je černá dutina s malým otvorem, kterým lze pozorovat vnitřek dutiny. Z tělesa vychází při různých teplotách fotony, jejichž energii změřili Lummer a Pringsheim a vztah mezi zářivostí a teplotou odvodili Stefan a Boltzmann. Rovnici pro spektrální zářivost našel Wien, radiační zákon pak Raleygh a Jeans. Oba vztahy vyhovují pro různé teploty. Sloučil je Planck za předpokladu, že energie je kvantovaná.

Rozdělení energie je trochu odlišné od rozdělení energie molekul plynu. Fotony vyletující z dutiny černého tělesa odpovídají diferenci plošného podle velikosti jediného vektoru. To by se mohlo interpretovat tak, že v dutině černého tělesa soustava probíhá v širším pásu orbit vzhledem k rozdílné rychlosti obou procesů. Bose a Einstein vysvětlili rozdíl tím, že fotony jsou nerozlišitelné. Jak jsme už ukázali, známe jen počet věcí uvnitř buněk, v tomto případě počet fotonů s daným kmitočtem. Zda jsou nerozlišitelné, to není vůbec důležité (1). Tomu nerozlišitelnému odpovídá rychlost molekuly nebo kmitočet fotonu.

Rozdělení rozlišitelných věcí vedlo také k určitému nedorozumění. Ale to už je zase jiná kapitola.

V Bibli se tvrdí, že na počátku bylo slovo. Moderní kosmologie se domnívá, že to počáteční slovo byla singularita, ve které se soustředil celý budoucí vesmír. Tato singularita se při velkém třesku rozprskla a od té doby se neustále rozpíná. Počátku se říká podle prvého písmena řecké abecedy alfa, a jestli se bude Vesmír jednou smršťovat, potom koncem bude slovo omega, jediné písmeno ve kterém se soustředí veškerá energie i informace. Také se mluví o knize Přírody, kterou se máme naučit číst.

Knihy známe jako listy papíru, na které se podle určitých pravidel láme posloupnost slov. Posloupnost slov se může zapisovat vodorovně či svisle. Vodorovné psaní může začínat vlevo nebo vpravo s tím, že sekáme posloupnost slov na přibližně stejné kousky, řádky. Kdysi se zkoušelo skládat slova na stránku souvisle, střídavě od leva a pak od prava a opět od leva. Když si uvědomíme, že kniha je jediný řádek, pak různé texty jsou jako Adrianina nit, nebo odborněji vektor, který vede od počátku k určitému bodu.

Po trochu lyrickém úvodu si pro jednoduchost vezměme k ruce čtverečkovaný papír, na kterém si můžeme snadno nakreslit všechny vektory, posloupnosti slov, z abecedy dvou symbolů. Všechna slova délky m budou končit na úhlopříčných přímkách. Pro m = 3 to budou slova:

Posloupnosti pro m = 7 a n = 7 na orbitě (3, 2, 1, 1, 0, 0, 0), tedy třeba aaabbcd, mají oba polynomické koeficienty stejné. Polynomický koeficient pro n-permutace počítá se 3 symboly s nulovou frekvencí, se 2 symboly s jednotkovou frekvencí a po jednom symbolu s frekvencí 2 a 3: 7!/3!2!1!1! = 420. Polynomický koeficient pro m-permutace počítá frekvenci 3 jednoho symbolu, frekvenci 2 jednoho symbolu a frekvenci 1 dvou symbolů: 7!/3!2!1!1! = 420. Ve výrazu by se měly objevit i tři faktoriály 0! pro symboly s nulovou frekvencí. Vzhledem k tomu, že 0! = 1, nemění se hodnota a tak se tyto faktoriály vynechávají.

Pro n-permutace je tento polynomický koeficient maximálně dosažitelný pro m = 7 a n = 7. Pro m-permutace je maximálně dosažitelný polynomický koeficient 7!, pokud se každý symbol v posloupnosti objeví pouze jedenkrát: abcdefg.

Počty sekvencí na jednotlivých orbitách se opět dají seřadit do tabulek. Součty prvků v tabulkách dávají mocniny n^m. Jsou to velmi rychle rostoucí čísla, která se dají rozložit na součin dvou matic. Jednu tvoří matice binomických koeficientů, druhou maticí jsou diference, které se získávají operátorovou algebrou. S odpovídajícími čísly se opět dají provádět různé operace a tak se získají různé kombinatorické identity, jako jsou třeba Lahova čísla.

Identity spojené s mocninami jsou známy v literatuře jako rozdělení m rozlišitelných věcí do n buněk. Toto označení je nepřesné. Ve skutečnosti jsou věci, lépe řečeno objekty, nerozlišitelné. Pouze víme, že na i-tém místě je objekt v j-té buňce (poli matice). Samotné objekty nejsou nijak označeny a proto jejich vzájemné permutace nemají význam. Pokud objekty opravdu označíme, nejlépe třetím indexem k, potom dostaneme jiné rozdělení a místo mocnin dostaneme rostoucí faktoriál, což je podíl dvou faktoriálů.

Počty posloupností jsou nepředstavitelně velké. Vezmeme-li jako knihu jen dvě stě stran textu s asi 2000 symboly na stránce, vychází jako počet různých knih číslo s 700 tisíci nulami. Mezi těmito knihami by byly všechny knihy (delší rozdělené do svazků) ve všech jazycích psané nebo transkribované latinkou. Nebo jinak, ke každé knize by existovalo asi 24 milionů výtisků, které by se lišily jedinou tiskovou chybou od originálu, pokud by se vůbec mohlo rozhodnout, co je originál.

S maticemi lze provádět i další operace. Jednou z nich je transpozice. Transpozice otočí matici podél hlavní diagonály, zamění se při tom indexy řádků a sloupců.

Pro transponované posloupnosti použijeme obměněnou funkci. Počet symbolů jednotlivých členů součinu budou odpovídat délce jednotlivých os m (původně to byl rozměr prostoru n), počet členů součinu n bude totožný s rozměrem prostoru n).

Vzhledem k nulovému indexu si také upravíme význam čísel na osách n. Normální

jednotka odpovídá nulté mocnině daného symbolu x0 = 1 (nultá mocnina všech čísel se rovná jedné, tedy také 00 = 1).

Teď si prostě napíšeme vytvořující funkci trojrozměrné krychle s jednotkovou hranou. Dostaneme 2³, osm členů součinu:

ve kterých jednotky prostě vynecháváme 0 = (111).

To znamená, že je nutné vypočítat pouze počty posloupností vedoucích k jednotlivým bodům jako hodnoty nové kombinatorické funkce.

jejíž členy Pn se dostanou podle jednoduchého receptu:

Einstein prohlásil, že nevěří v Boha hrajícího v kostky. Mínil tím interpretaci kvantové teorie. Jenomže Poissonovo rozdělení je jakási kostka. A jestli považujeme třeba pády z koně za náhodné, tak švarní husaři a kyrysníci vlastně rajtovali v jakési kostce.

U krychlí s delší hranou jsou příslušné výpočty složitější. Známe jen celkový počet prvků, avšak jejich rozdělení uvnitř krychlí je třeba určovat odlišně.

Tento symbol e je znám jako číslo e, což je základ přirozených logaritmů a zároveň jakýsi klíč k vyšší matematice.

Když jsem byl v rámci normalizace vyhozen z laboratoře, dostal jsem se pomocí dobrých lidí do oddělení informací. Tam jsem se musel nějak zaměstnávat a tak jsem se začal postupně zajímat o teorií grafů. Mimochodem, mojí prvou publikací o grafech jsem zveřejnil v rámci polemiky s mentionovou teorií profesora Kahudy (1).

K rozvoji teorie grafů přispěla i chemie. Vzorce chemických sloučenin mají formu grafů. Existují však mnohem hlubší souvislosti. Jedna Nobelova cena za chemii byla udělena Hueckelovi, který ukázal, že fyzikální vlastnosti konjugovaných molekul (určité uhlovodíky s dvojnými vazbami) odpovídají vlastním hodnotám matic spojitosti grafu molekuly.

Takové počítání je tak elementární, že zcela uspokojilo můj smysl pro jednoduchost. Až do té doby, když jsem dokázal, že Wienerova čísla jsou součty vlastní hodnot jistých inverzních matic dané molekuly, případně se objeví i jako vlastní hodnota zobecněné inverzní matice k matici molekuly známé pod jménem Laplace-Kirchhoffova (Laplace ji použil jako prvý pro nebeskou mechaniku, Kirchhoff ji využil k řešení vodivosti elektrických obvodů). Při tomto problému by se měla Laplace-Kirchhoffova matice invertovat. Potíž je v tom, že matice je singulární a tedy neexistuje její normální inversní protiklad. Za mých mladých let se Kirchhoffovův problém řešil (a možná stále řeší) rozkladem sítě na stromy. Počty vazeb mezi všemi páry atomů se dají sestavit do matic vzdáleností. To jsou však vzdálenosti abstraktní, topologické. Skutečné geometrické vzdálenosti v molekulách jsou však jiné. Takže se dají vypočítat geometrické analogy Wienerova čísla. Jenomže matice vzdáleností mají ještě jinou zajímavou vlastnost. Z porovnání vzdáleností se dá určit úhel mezi hranami. A z této interpretace plyne, že topologické vzdálenosti jsou čtverci skutečných vzdáleností a grafy se najednou objeví jako objekty v n-rozměrném prostoru. Tento výsledek je důkaz správnosti mé koncepce plošných simplexů. V literatuře se vyskytují názory, že grafy jsou bezrozměrné objekty (abstraktní), či jednorozměrné objekty. Obecně lze říci, že se nikdo tímto problémem vážně nezabýval. Grafy se dají barvit, třeba tak, že dva vrcholy spojené hranou nesmí mít stejnou barvu. Nejmenší počet barev nutných o obarvení grafu jsou dvě. Grafy, které se dají tímto způsobem obarvit, jsou známy jako dvojdílné. Mají některé zajímavé vlastnosti.

Posloupnost symbolů, třeba aaba, se dá formálně zapsat jako naivní matice A. Jiná posloupnost symbolů, třeba babb, se dá formálně zapsat jako naivní matice B.

Teď se budeme zabývat problémem, jak matici A převést na matici B.

Jedna možnost je násobení základní matice A zleva a zprava vhodnými (jednotkovými prmutačními) maticemi. To se dá provést jen v případě, že výchozí i konečná matice jsou stejného typu a leží na stejné orbitě.

Druhou možností je konstrukce additivního operátoru S

Co tento operátor S musí provést? Nejprve musí vynulovat matici A a zapsat na volné místo matici B. V našem příkladu operátor S má tvar

Obecně operátor S má tvar:

Řádky operátoru S (0, 0) představují smyčku vracející původní stav. V teorii grafů se někdy tyto operátory připouštějí a značí se kruhovou šipkou. Jindy jsou definičně vyloučeny.

K operátoru S můžeme zkonstruovat analogicky additivní operátor G, který má tvar:

Pro náš příklad operátor G má tvar

Vektor (1, 1) je kolmý na spojnici bodů a s b, neorientovanou i orientovanou hranu grafu. Můžeme si klidně představit, že neorientovanou hranu grafu zastupuje. Vektory (2, 0) a (0, 2) odpovídají smyčkám. Prozatím se s nimi nebudeme zabývat.

Po této jednoduché definici incidenčních matic jenom připomeneme, že do našeho grafového prostoru budou patřit i obě kvadratické formy incidenčních matic S a G (STS, SST, GTG a GGT) a také kombinace typu STG a GTS.

Úplné grafy Kn mají podobu plošných simplexů. N vrcholů je spojeno hranami se všemi ostatními hranami.

Jako kanonický tvar incidenčních matic Sn úplných grafů Kn zvolíme ten, který odpovídá postupnému přidávání vrcholů a hran k menším grafům:

Incidenční matice Sn a Gn úplných grafů Kn, které mají n sloupců a n(n- 1)/2 řádků, jsou důležité operátory, které zobrazí n(n-1)/2 rozměrnou čtvercovou matici M na čtvercovou matici jen n rozměrnou:

Každý prvek matice M se objeví v matici STMS nebo GTMG dvakrát. Jednou na diagonále, podruhé jako mimodiagonální prvek, který je kladný u matice GTMG a záporný u matice STMS.

Na závěr si dovolím jednu otázku. V Athénách bylo zvykem se při filozofických disputacích procházet. Jak jsem uvedl, základy teorie grafů jsou názorné a elementární. Proč nenapadlo athénské matematiky zabývat se grafy? Co jim chybělo, aby přišli na základy této teorie? Těch sedm mostů z Královce, nebo to bylo něco jiného?

Existují různé chemické sloučeniny se stejným zastoupením základních atomů a stejným souhrnným vzorcem, které se liší svou strukturou, tedy tím, jak jsou atomy v molekule uspořádány. Takovým sloučeninám se říká isomery. Určitou výhodou při hledání počtů isomerů, jak se takovým sloučeninám říká, je omezení vaznosti atomů, které isomerní sloučeniny tvoří, nejčastěji na čtyři vazby u sloučenin uhlíku, kde je tento problém nejčastější. Toto omezení však na druhé straně může komplikovat nalezené matematické vztahy, místo obecně platných vzorců je třeba hledat specifické tvary.

Základem jsou počty různých grafů, u nichž ani vrcholy, ani hrany nejsou nijak označeny. Tyto počty odpovídají orbitám v přirozeném vektorovém prostoru, rozkladům čísla m na n sčítanců. Číslo n je počet vrcholů grafu. Číslo m představuje počet hran nebo jinak chemických vazeb. Vzhledem k tomu, že u každého vrcholu počítáme většinou všechny incidentní hrany, počítá se každá hrana dvakrát a proto číslo m je v tomto případě dvojnásobek skutečného počtu hran. U orientovaných grafů se můžeme zajímat zvláště o počty orientovaných hran vcházejících a vycházejících z jednotlivých vrcholů. Takovým grafům se říká turnaje, protože znázorňují vztahy mezi účastníky turnajů.

Součet počtu incidentní hran u jednotlivých vrcholů je vždy sudé číslo. Na jednom rozkladu může být umístěno více různých grafů. Tak třeba rozklad (2, 2, 2, 2, 2, 2) může znamenat jeden cykl délky 6, nebo dva cykly délky 3, pokud uvažujeme jen prosté grafy (s jednoduchými vazbami).

Dalším jednoduchým případem je enumerace stromů s indexovanými vrcholy. Strom s n vrcholy má (n-1) hran.

Příklady: Hvězda S(5) s kořenem 3 dá posloupnost 3,3,3. Lineární řetězec L(5) 1-5-4-3-2 dá posloupnost 5, 3, 4, protože nejprve odsekneme vrchol 1 připojený k vrcholu 5, potom vrchol 2 připojený k vrcholu 3 a nakonec vrchol 3 připojený k vrcholu 4. Řetězec 2-1-4-3-5 dát podobně posloupnost 1, 4, 3.

Zde pro zajímavost můžeme zmínit obrácený postup, že se naivní matice N mohou rozšířit na incidenční matice grafu G nebo S, tím, že k naivní matici N přidáme jako blok jednotkovou diagonální matici I. Takové incidenční matice jsou matice hvězdných lesů, kde kořeny jednotlivých stromů jsou představované n symboly a jednotlivé výskyty symbolů jsou listy stromu (2).

Pokud se budeme zabývat enumerací grafů hlouběji, pak můžeme vycházet ze základního schématu, které jsme použili u naivních matic. Matice se násobí zprava i zleva jednotkovými permutačními maticemi potřebného rozměru (n zprava a m zleva) představujícími symetrické grupy S(n) a S(m). Postačí násobení jen představiteli jednotlivých podgrup. Pokud hrany nejsou označeny, násobení grupou S(m) je nadbytečné a postačuje jen násobení grupou S(n).

Po provedení všech násobení se najdou počty rozlišitelných výsledků. Tento počet ukazuje symetrii daného grafu představovaného maticí sousedství grafu G (neorientovaný graf) a S (orientovaný graf). V obou maticích jsou v každém řádku dva jednotkové prvky, u orientovaného grafu jeden z nich má kladné a druhý záporné znaménko. Vzhledem k tomu nejsou výsledky násobení zcela nezávislé, ale jedná se o spletenec grup symetrie.

V této kapitole se dostáváme k oblasti, kterou můžeme označit za obtížnou. Její obtížnost je hned dvojího druhu, technická a koncepční.

Koncepční nesnáze jsou dány tím, že se jedná o vztahy skryté až tajemné. Podobně jako kapky deště rozkládají sluneční světlo na spektrum světel různé vlnových délek, které se nám objeví jako duha, tak vlastní hodnoty tvoří spektrum matice. Přirovnání může má hlubší smysl. Na konci duhy se prý skrývá poklad, spektra matic jsou často klíčem pro řešení vědeckých a technických problémů. Chvění hudebních nástrojů a technických konstrukcí, jako jsou mosty, je příkladem, kdy vlastní hodnoty přímo vnímáme, aniž bychom je museli počítat. U hudebních nástrojů slyšíme tóny, u technických konstrukcí může kmitání vést k destrukci staveb. I naše těla jsou vlastně konstrukcemi plnými kmitů molekul.

Existuje celá teorie permanentů, kdy se hledají permanenty různých typů matic. V některých případech jsou výsledky shodné s klasickými kombinatorickými identitami.

S permanentem souvisí úzce jiná charakteristika matice, její determinant. Determinant má mnohem větší praktický význam. Determinant se počítá podobně jako permanent, pouze s tím rozdílem, že polovina permutací prvků dostane záporné znaménko podle inverzního pořadí násobení prvků. Pokud matice není čtvercová, determinant je automaticky nulový. To si můžeme vysvětlit tak, že si představíme matici rozšířenou na čtvercovou o nulové prvky. Ty se objeví v každém členu součtu tvořícího determinant, takže součet je nulový. Determinant matice (2,2) s prvky

Zjistilo se, že určité operace s maticemi, jako je přičtení některého řádku či sloupce k jiným, nemění hodnotu determinantu. Taková změna mění všechny kladné i záporné prvky determinantu stejným způsobem, takže se změny vzájemně vyruší. Těmito operacemi lze převést matici na trojúhelníkový tvar v méně krocích, než při hledání všech permutací. Proto je snazší výpočet determinantu tímto způsobem.

Matice jsou operátory působící na vektory, buď sloupce, nebo řádky v závislosti na tom v jakém pořadí se operace násobení provádí. K matici M můžeme přičíst nebo odečíst jinou matici. Pokud zvolíme jako tuto matici diagonální prvky x (xI), dostane se při výpočtu determinantu matice (xI - M) výraz obsahující mocniny prvku x od 0 do n, přičemž některé z nich mohou chybět, poněvadž se vynulují.

je charakteristický polynomiál x² - 4x -3. Ten lze rozložit na součin (x -3)(x -1) a vlastní hodnoty dané matice jsou 3 a 1.

Pokud matice M není čtvercová, mají podobný význam jako vlastní hodnoty hodnoty singulární, což jsou vlastní hodnoty vnitřních a vnějších skalárních součinů MM^T a M^TM. Pokud matice M je symetrická, pak jsou oba skalární součiny MM^T a M^TM shodné a singulární hodnoty jsou druhé mocniny vlastních hodnot matice M. Tím jsme vlastně prozradili další pravidlo, vlastní hodnoty mocnin matic jsou příslušnými mocninami vlastních hodnot. Tento vztah lze využít i pro výpočet vlastních hodnot některých matic.

Vnitřní skalární součin jednotkového sloupce J je n. To je singulární hodnota tohoto sloupce a také jediná nenulová hodnota matice tvořené samými jednotkami, což je vnější skalární součin jednotkového sloupce J.

Pokud k matici přičteme nebo od ní odečteme nějaký násobek k jednotkové diagonální matice I, potom se změní všechny vlastní hodnoty o tuto hodnotu k.

Skalární součin S^TS je znám jako Laplace-Kirchhoffova matice. Samotné pojmenování napovídá, že takové matice nalézají uplatnění v nebeské mechanice (Laplace) a v elektrotechnice při výpočtu elektrických obvodů (Kirchhoff). A největší uplatnění nalezly v chemii, kde se ukázalo, že fyzikální vlastnosti molekul odpovídají maticím tyto molekuly popisujících, ať jsou to přímo Laplace-Kirchhoffovy matice, nebo její mimodiagonální části, matice sousedství.

Skalární součin Laplace-Kirchhoffovy matice S^TS má tvar (V - A), kde V je diagonální matice registrující počet hran sousedících s vrcholy j a A je matice sousedství, ve které nenulové prvky ukazují počet hran spojujících dva vrcholy (při tom není nutné, aby tyto prvky byla celá čísla, postačující podmínka je, aby součty prvků matice v řádcích a sloupcích byly nulové).

Tak u lineárního řetězce se čtyřmi vrcholy a třemi hranami jsou to tři hrany a jedna dvojice, u lineárního řetězce se šesti vrcholy a pěti hranami je to pět hran, šest dvojic a jedna trojice.

Vzhledem k tomu, že Laplace-Kirchhoffova matice S^TS má tvar (V - A), a jak jsme řekli, pokud diagonální matice V má všechny hodnoty stejné, existuje vztah mezi vlastními hodnotami této matice a vlastními hodnotami matice sousedství. Vztah je jednoduchý v případě pravidelných grafů, kde všechny vrcholy mají stejnou hodnotu incidence.

Laplace-Kirchhoffovy matice S^TS úplných grafů mají hodnotu diagonální matice V (n - 1). Mimodiagonální prvky jsou -1. To je stejné, jako kdyby hodnota diagonální matice V byla n a od této matice se odečetla čtvercová jednotková matice. To dá (n-1) vlastních hodnot rovných n a jednu nulovou vlastní hodnotu. A podobně jako se úplný graf rozštěpí na dvojici komplementárních grafů, tak se rozštěpí spektrum úplného grafu.

U matic sousedství stromů lze při hledání charakteristického polynomiálu použít techniku roubování. Při přidání nového listu je charakteristický polynomiál součtem součinu charakteristického polynomiálu původního stromu násobeného členem x a charakteristického polynomiálu původního stromu osekaného o všechny větve sousedící s vrcholem, ke kterému byl list přidán. Takové osekání odstraní z matice grafu i-tý sloupec a řádek (sloupec z matice incidence), což lze považovat za diferenci příslušného grafu a jeho matice.

Tyto diference grafu jsou známy jako Ulamovy podgrafy. Ulam vyslovil domněnku, že ze znalosti všech takových podgrafů lze rekonstruovat původní graf. Pokud nejsou vrcholy označeny, tak to není u velkých grafů snadná záležitost. Velkým problémem je identifikace vrcholů v různých podgrafech.

Rekonstrukce charakteristického polynomiálu ze znalostí charakteristických polynomiálů všech Ulamových podgrafů je však snadná operace. Charakteristické polynomiály všech Ulamových podgrafů se jednoduše sečtou a výsledek se považuje za diferenciál charakteristického polynomiálu vytvořený podle pravidel diferenciace. Člen nx^{(n- 1)} diference odpovídá původnímu členu xⁿ atd.

Existuje ještě řada dalších pravidel a vztahů, které lze využít pro výpočet nebo odhad charakteristických polynomiálů. Tak třeba matice sousedství linkových cyklických grafů (graf tvořený mimodiagonálními prvky matice SS^T) obsahují vlastní hodnoty -2, aby se eliminovalo (m - n) diagonálních prvků matice SS^T s hodnotou 2.

Nejobecnější metodou výpočtu charakteristických polynomiálů je technika, jejímiž autory jsou La Verrier, Frame a Fadějev. Tito matematikové žili v různých dobách. To svědčí o tom, že tato technika byla znovu objevena, zapomenuta a znovu objevena několikrát.

Metoda spočívá v opakujícím se odečítání stopy matice nebo jejích násobků a násobení takto získaných matic původní maticí. Stopa matice se rovná součtu vlastních hodnot a v násobcích se násobí každá vlastní hodnota těmito součty. Postupně se tak dostávají součiny dvojic, trojic a obecně n-tic vlastních hodnot a rekonstruuje se charakteristický polynomiál.

Dá se dlouho spekulovat, co by se třeba mohlo stát, kdyby Vesmír, ve kterém žijeme, měl topologii podobnou Moebiusovu pásu.

Je to matice E, jejíž prvky e(ij) jsou 1, pokud číslo i dělí číslo j a 0, jestliže j není beze zbytku dělitelné číslem i.

Čísla 1, 2, 3, 5 a 7 propadnou ze základní čáry na diagonálu, jsou to tedy prvočísla. Mezi jednotkami v prvém řádku není žádná nula, v druhém řádku je mezi jednotlivými jednotkami jedna nula, v třetím řádku jsou mezi jednotlivými jednotkami nuly dvě, v dalším řádku tři nuly a tak jsou mezery stále širší.

Na diagonále Moebiusovy matice jsou vždy jednotky, m(i=j) = 1. Dovedete odhalit způsob, jakým jsou v Moebiusově matici rozdělena čísla 1, -1 a 0 mimo diagonálu? Záporný jednotkový prvek musí být v prvém sloupci u prvočísel, aby se v prvém sloupci součinu vynulovaly dva jednotkové prvky v příslušném sloupci Erastothenova síta. Pokud je číslo j mocnina i, pak m(i1) = 0. Dále platí, že m(ij) = -1 pro prostý dělitel čísla i. Pro čísla, která jsou součinem dělitelů čísla i platí pravidla násobení, takže mohou mít obě znaménka podle toho, kolik dělitelů čísla i -1 se násobí.

Obecně těmito prvky mohou být i matice. Additivní inverzní matice je daná matice, jejíž všechny prvky mají opačné znaménko. Na našem příkladě Moebiusovy inverze jsme viděli, že u multiplikativní inverzní matice jsou vztahy složitější. Při násobení matic se prvky obou matic nejen násobí, ale současně sečítají, proto se většinou v inverzní matici matice, jejíž všechny prvky jsou kladné, objeví prvky záporné.

kde I je jednotková diagonální matice. To znamená, že když násobíme matici stejnou maticí, najdeme její druhou mocninu a tato mocnina je jednotkovou diagonální maticí, potom jsou je inverzní matice totožná s danou maticí.

má stejné hodnoty, pouze znaménka jsou rozdělena jinak

Ne ke každé matici lze najít inversní matici. Základní podmínkou existence inverzní matice je existence nenulového determinantu. Ve spektru matice nesmí být nulové vlastní hodnoty, protože vlastní hodnoty inverzní matice jsou inverzemi vlastních hodnot původní matice a inverze nuly je nekonečno.

Nebudeme se zabývat technickými problémy řešení problému hledání inverzních matic, od toho přece máme počítače, ale budeme se zabývat některými zajímavými problémy, které pomáhají pochopit význam inverzních matic, protože mají zcela konkretní význam.

Kvadratická forma S^TS incidenční matice orientovaného grafu S je známa jako Laplace- Kirchhoffova matice. O těchto maticích je známo, že mají jednu nulovou vlastní hodnotu.

Protože obě kvadratické formy S^TS i SS^T mají shodná spektra, potom kvadratická forma SS^T stromů s (n-1) sloupci a řádky nemá žádnou nulovou vlastní hodnotu a má tedy inverzní matici.

Diagonální prvky kvadratická formy incidenční matice orientovaného grafu SS^T jsou vždy 2, mimodiagonální prvky jsou 0, pokud dvě orientované hrany nemají společný vrchol, 1, když orientované hrany se společným vrcholem mají opačnou orientaci nebo obě vycházejí ze společného vrcholu, a -1, když orientované hrany na sebe navazují.

Stopy matic (součty diagonálních prvků) jsou postupně (4), 10, 20, 35. Tato čísla jsou v chemii známa jako Wienerova čísla (záměrně jsem proto zvolil označení matic W). Harry Wiener byl skromný jmenovec známého Norberta Wienera. Ještě před druhou světovou válkou zjistil, že body varů alkanů (methan, ethan, propan, atd.) korelují se součtem všech vzdáleností (počty vazeb) mezi uhlíky alkanů.

U některých matic důležitých pro techniku s jednou nulovou vlastní hodnotou neexistují inversní matice. Patří k nim Laplace- Kirchhoffovy matice. Laplace je spojil s mechanikou nebeských těles a Kirchhoff s elektrickými obvody, odpory v sítích a hledáním proudů protékajících mezi jednotlivými uzly sítě. Nevím, jak se dnes učí řešení tohoto problému na školách, ale za mých mladých let se hledaly počty stromů, na které je možné síť rozdělit.

Prvé bylo známo z teorie kódování, bez aplikace na teorii grafů, a platí přesně jen pro stromy. Je spojené s pojmem kořenu a u cyklických grafů se jedná o jakési náhradní a dílčí řešení.

Pro lineární řetězce bude příslušná matice W mít tvar

Pomineme-li prvý řádek, pak je to incidenční matice S orientovaného lineární řetězce L(5). Když k této matici přidáme další hranu

dostaneme jako kvadratickou formu S^TS zakořeněnou incidenční matici S orientovaného cyklu C(4).

Při hledání invezní matice si úkol rozdělíme na dvě části. Nejprve si uvědomíme, že jednotkový vektor sloupec je vlastní vektor pro nulovou vlastní hodnotu nezakořeněné kvadratické formy S^TS cyklu C(4). Když shora uvedenou matici vynásobíme čtvercovou jednotkovou maticí, dostaneme jako produkt jednotkový prvý řádek, ostatní řádky budou samé nuly. K nim můžeme přidat inverzi podmatice, kterou jsme už řešili shora L(n) pro n = 4. Násobíme všechny hodnoty 4x:

Jednotkový řádek je zbytek kořenu, ale další tři řádky mimo prvý nulový sloupec jsou kvadratická forma SS^T lineárního řetězce L(4). Zbyla by nám po odstranění zakořeněného vrcholu.

Jedná se o tak zvaný Ulamův subgraf. Ulam vyslovil hypotézu, že ze všech n podgrafů vzniklých z grafu odstraněním jednoho vrcholu a s ním incidentních hran se dá rekonstruovat původní graf. Důkaz tohoto tvrzení je obtížný, ale bylo dokázáno, že součet charakteristických polynomiálů kvadratických forem S^TS všech n podgrafů je diferencí charakteristického polynomiálu původního grafu, takže se z nich dá původní polynomiál rekonstruovat podle pravidel integrace.

No a součet inverzních matic všech Ulamových podgrafů (příslušně upravený) dá pseudoinverzní matici původního grafu. Pseudoinverzní matice je to proto, že po vynásobení s původní maticí se nedostane jednotková diagonální matice I, ale součet této matice s maticí -1/nJJ^T, kde J je jednotkový sloupec.

U elektrických obvodů diagonální prvky prvky můžeme interpretovat jako vodivosti sítě vzhledem k vrcholu 1. Za předpokladu jednotkových odporů mezi vrcholy sítě je odpor cesty 1-2 roven 1, odpor cesty 1-4-3-2 je roven 3, součet proudů je 1 + 1/3 = 4/3 a vodivost mezi vrcholy 1-2 je 3/4. Mezi vrcholy 1-3 je to 1/2 + 1/2 = 1.

Laplace je znám jako zastánce determinizmu. Jestliže si představíme, že Vesmír přechází v každém okamžiku z jednoho stavu do druhého, pak lze tento přechod vyjádřit incidenční maticí S. K této matici si lze představit její kvadratické formy. Laplace-Kirchhoffovy matice má zobecněnou inverzi. Otázkou je, jak rychle se tato inverze vytváří a jak rychle působí vzdálené změny.

V teorii grafů byla definována vzdálenost mezi vrcholy jako počet hran na cestě mezi nimi. Pokud graf je nespojitý, vzdálenost se považuje za nekonečnou. Tyto vzdálenosti se vynášely do matic, což zjednodušovalo zápis. Součty vzdáleností jsou známy v chemii jako Wienerovo číslo. Toto číslo koreluje velmi dobře s body varů alkanů (methan, ethan, atd.) i s některými dalšími fyzikálními vlastnostmi těchto uhlovodíků.

Pak však Chorvat Trinajstic se svými spolupracovníky [1] přišel s ideou, místo topologických vzdáleností dosadit do matic skutečné vzdálenosti mezi atomy (počítají se jen atomy uhlíku, vodíky se zanedbávají) a korelovat s fyzikálními vlastnostmi součty těchto geometrických vzdáleností. Poslal mi jednu z mnoha prací týkající se tohoto problému k recenzi. Já jsem trochu nevděčně - měl jsem od nich spoustu reprintů - začal šťourat do problému a aplikoval jsem na matice vzdáleností základní trigonometrický vzorec pro stanovení úhlů mezi stranami trojúhelníku, který by jste měli znát ze střední školy, a překvapeně jsem zjistil, že geometrickým analogem topologických vzdáleností jsou matice, ve kterých se vzdálenosti udávají ve čtvercích [2]. To zdánlivě odporuje naší zkušenosti, jak jsem poznamenal už v úvodu, na druhé ústraně však některé fyzikální veličiny, třeba gravitační nebo elektromagnetické pole, se mění lineárně se čtvercem vzdáleností.. Začněme však od začátku, což budou koordináty čtyř bodů, uspořádané jednou na přímce, pak na vrcholech třírozměrné krychle a konečně ve čtyřrozměrném prostoru.

a konečně do čtyřrozměrného prostoru. Pro zachování jednotnosti jsme v předešlých maticích zapisovali také nulové sloupce:

V dalším kroku příslušné matice nejprve násobíme z obou stran, zleva incidenční maticí úplného orientovaného grafu S (dvě jednotky v každém řádku, se záporným znaménkem pro výchozí vrchol, a kladným znaménkem pro konec hrany) a transponovanou incidenční maticí úplného orientovaného grafu S^T zprava. Dostaneme matici, na jejíž diagonále jsou vzdálenosti jednotlivých vrcholů, přesněji řečeno čtverce rozdílů původních koordinát.

Tuto diagonální matici opět sbalíme násobením z obou stran incidenční maticí úplného orientovaného grafu S a transponovanou maticí v opačném pořadí. Dostaneme celkem tři různé matice. V jedné budou mimodiagonální prvky samé jednotky, to v případě umístění bodů na vrcholech pravidelného čtyřstěnu, v další matici se objeví vzdálenosti 1, 2, 3, to u bodů v krychli, a konečně se objeví vzdálenosti 1, 4, 9, pro přímku.

Problematika mocnin vzdáleností vede k zobecnění problému, studiu vlastností matic různých mocnin vzdáleností, větších než dva, tedy jejich momentů, a nejen mocnin kladných, ale i záporných. Nultá mocnina jakéhokoliv čísla je 1, nekonečná záporná mocnina je nula. Představte si čtvercový rám, jehož hrany jsou spojeny klouby, takže se čtverec dá v rovině libovolně deformovat na kosočtverec a z roviny na čtyřstěn. Deformace v ideálním případě mohou skončit přímkou, buď délky 2 při deformacích v rovině, či délky 1 při úplném sklopení čtyřstěnu. Delší vzdálenosti protilehlých rohů si musíme představit jako mocniny geometrických vzdáleností, nebo jako vzdálenosti v zakřiveném prostoru.

Takto lze považovat matice sousedství A za konečný výsledek takových transformací. Je zajímavé sledovat proměny vlastních hodnot při těchto transformacích [5].

U stromů mají matice topologických vzdáleností další vlastnost, jsou součástí pravé inverzní matice incidenční matice S spolu s transponovanou maticí. Jinak řečeno rámování matice topologických vzdáleností incidenční maticí S spolu s transponovanou maticí matici topologických vzdáleností diagonalizuje. To se využívá při studiu vlastností krystalů (Rutherford [6]).

V matematice se takové rozdělení považuje za negativní. Lepší výraz by byl obrácené nebo inverzní. Jenomže když hážeme minci, tak řada výsledků hodů orel - hlava, nebo při jiném zápisu 0 - 1, je známa jako binomické rozdělení a rozdělení vzdáleností mezi stejnými výsledky je známé jako negativně binomické rozdělení. Ještě před takovými dvaceti léty bylo toto rozdělení kuriozitou, protože potřebné výpočty jsou značně zdlouhavé. Počítače tuto překážku odstranily a tak je možné provádět analýzu velmi rychle. A výsledky jsou velmi zajímavé .

Pro inteligentní veřejnost klasického Řecka to byl asi kulturní šok, když jim Zenon1,2 z Eley kolem roku 460 př. Kr. logicky dokázal, že rychlonohý Achilles není schopen dohonit ani želvu, pokud želva dostane nějaký náskok, protože než Achilles doběhne na místo, kde byla původně želva, ta se posune o kus dále a než Achilles doběhne o kus dále, želva se posune o kousek dále a než Achilles doběhne o kousek dále, želva se posune o kousíček dále a než Achilles doběhne o kousíček dále, želva se posune o kousičínek dále a než Achilles doběhne o kousičínek dále, želva se posune o kousičičínek dále a než Achilles doběhne o kousičičínek dále bude želva opět jinde a tak dále ad infinitum, s těmi čiči přestaneme, aby se neseběhly všechny kočky z okolí.

Studenti filozofie a matematiky1 jsou poučováni, že my dne tento paradox za nic podivného nepovažujeme, protože víme, že i součet nekonečné řady může být konečné číslo.

Obrázek 1 ukazuje jednoduché řešení, které se nám dnes zdá tak primitivní, že si ani neuvědomujeme, že na něj lidstvo muselo dospívat dva tisíce let. Na obrázku jsou znázorněny normalizované dráhy obou borců. Želva je jen dvakrát pomalejší než Achilles, takže to představuje současně jinou eporii, dichotomii. Předpokládaný rovnoměrný pohyb ukazuje okamžik, kdy se dráhy obou borců protnou bez ohledu na to, kolikrát bychom lákali pomyslnou kočku. Mimo to je vynesena i dráha pomalejšího borce za předpokladu, že oba závodníci vyběhnou současně.

Můj teoreticky založený kolega Rádl kdysi chtěl měřit rychlost monomolekulární reakce, byl však schopen sledovat pouze koncentraci produktu. Z monografie jsme se dozvěděli, že existuje jakási Guggenheimova3 metoda, popsaná v obskurním (alespoň pro nás) časopise. Pokusil jsem se metodu znovu objevit a výsledkem byl jednoduchý způsob, jak z řady koncentrací, stanovených v pravidelných časových intervalech (delta t) se dá vypočítat konstanta rychlosti monomolekulární reakce.

Později jsem zjistil, že Guggenheimova metoda je založena na diferencích koncentrací, zatím co já jsem pracoval s podíly, a tak jsem metodu publikoval4. Brzo na to se objevily sofistikovanější varianty.

Dosazením xj = Pi a yj = Pi+1 dostaneme rovnici přímky

z jejíž směrnice se snadno vypočte konstanta reakční rychlosti. Podobnou přímku lze nalézt i pro edukt. Výhodou oproti Guggenheimově metodě, která pracuje s rozdíly koncentrací, je menší citlivost k experimentálním chybám jednotlivých stanovení.

Obrázek není možná tak atraktivní jako složité obrazce atraktorů při složitých oscilujících reakcích, avšak má proti nim jednu výhodu: je jednoduchý a umožňuje pochopit, co se vlastně stalo. Ortogonální transformace převedla exponenciální pohyb na rovnoměrný a zlogaritmovala místo koncentrací časovou osu. Časově ekvidistantní body se objevily na korelační přímce jako geometrická posloupnost. Vynášením koncentrací (P + delta P)/P, případně (E + delta E)/E jsme dostali 1 + delta log P. Rovnoměrný pohyb se stejným způsobem zobrazí jako přímka rovnoběžná s diagonálou.

Geometrická shodnost objevila moderní verzi Zenonovy aporie: Když se v čase delta t rozpadne polovina radioaktivních atomů, kdy se rozpadne poslední atom? S pravděpodobností hraničících s jistotou, abychom se vyjadřovali exaktně, by těch intervalů mělo být podle Zenona nekonečně mnoho a na rozdíl od jeho důmyslných hříček jsou stejně dlouhé, protože ortogonální transformace nemá na ně žádný vliv. Při ukládání radioaktivních odpadů se jeví tato aporie dost bezvýchodná.

Okamžik, kdy se radioaktivní atom rozpadne, nezávisí na tom, kolik má sousedů, ale na jeho vnitřním stavu, na energetických bariérách a podobných představách. Zásadně není vyloučeno, že rozpad není zvratná reakce, že z produktů by mohl za určitých podmínek vznikat edukt. V tom případě se ustaví rovnováha mezi produktem a eduktem, jako na obrázku 2 podle přímky c, kde je zachycena zvratná monomolekulární reakce. Její průběh závisí i na velikosti reakční soustavy. Těmito otázkami se zabýval podrobně v Chemických Listech Šolc5-7 (tři body do citačního skóre za zaslané separáty snad stačí, stejně jsem tomu sotva rozuměl).

Od atomů můžeme přejít opět k obecnějším problémům. Proč jsme neměli obrázek 2 s příslušným vysvětlením v učebnici matematiky a proč se v nich (aspoň v těch co znám) neobjevuje dodnes? Zenonovy aporie mohla vyřešit téměř najednou různými technikami, součtem nekonečné geometrické řady, analytickou geometrií, diferenciálním a integrálním počtem celá řada matematiků. Trvalo však dva tisíce let, než se narodili. Se mnou současně na problému pracovala řada autorů, pouze namátkou8-18, takže to byla jen náhoda, kdo si všimne tak jednoduchého triku. Ani dnes nejsou všechny problémy vyřešeny19.

Dalo by se říci, že problémy zrají k řešení jako radioaktivní jádra k rozpadu. Kdo pak problém rozlouskne jako první, je už druhořadé. Jsou popsány i případy čtyřnásobných koincidencí řešení jednoho problému20-23. Konkurence stimuluje vědeckou aktivitu, nutí pracovat rychle a systém grantů si vynucuje produkci publikovatelných výsledků. Současná věda pracuje systémem paralelních počítačů.

To vede k třetí verzi Zenonovy aporie. Brněnský rodák Godel poukázal na to, že podobně jako existují prvočísla, tak může existovat nekonečně mnoho axiomů nutných pro všeobecnou teorii24. Prvočísla mají stejnou mohutnost jako řada přirozených čísel, tak taková váha působila stejně přesvědčivě na moderní filozofy jako kdysi Zenonovy aporie..

Věda v posledních stoletích procházela obdobím exponenciálního růstu. Nasazení počítačů neuvěřitelně znásobilo výzkumné kapacity. Takovým způsobem, že sledovat nové informace přesahuje lidské schopnosti. Pokud se kdy podaří vytvořit univerzální teorii s nekonečným počtem axiomů, pak téměř určitě jejími tvůrci budou počítače. Únava z nadbytku vede k moudrosti. Člověk nemůže tu želvu, na jejíž nohách spočívají dle čínského mýty čtyři sloupy držící nebeskou klenbu25, dohonit a tak poznat tajemství vesmíru. Proto je lépe oddat se meditacím zenonového budhismu.

1. Kolman A.: Dějiny matematiky ve starověku, Academia, Praha, 1968. Str. 96.

2. Znám Š., Bukovský L., Hejný M., Hvorecký J., Riečan B.: Pohľad do dejín matematiky, ALFA, Bratislava, 1986. Str. 60.

24. Thiele R.: Matematické důkazy. Str. 80, SNTL Praha, 1985.

25. Bodde D. v knize: Mytologie starověku (Kramer S., N., Ed.). Str. 324, Orbis, Praha, 1977.

Staří Řekové byli velmi dobří geometři, ale přesto si nevěděli rady s aporeou, se kterou přišel Zenon. Tvrdil, že rychlonohý Achiles nemůže nikdy dohonit želvu, pokud tato má před ním náskok. Během doby, než Achiles doběhne na místo, kde byla původně želva, želva odleze o kus dále, než Achiles doběhne na místo, kam se želva přesunula, želva odleze o kousek dále, než Achiles doběhne na místo, kam se želva opět přesunula, želva odleze o kousíček dále, než Achiles doběhne na místo, kam se želva znovu přesunula, želva odleze o kousičičínek dále. Tak to půjde nekonečněkrát. Zkušenost ukazovala, že Zenonův závěr je chybný, avšak tehdejší matematika nedokázala nalézt řešení.

Když užijeme prostředky, které měli tehdy lidé k dispozici, můžeme si čas si představit jako hladinu vodních hodin. Tady jsou také možné dva způsoby. Buď považujeme za počátek času plnou horní nádobu, ze které voda ubývá, nebo prázdnou dolní nádobu, do které voda přitéká. K těmto časovým hladinám se přiřadí poloha obou soutěžících na závodní dráze. Příslušné nákresy budou ve stejbém vztahu, jako zrcadlový obraz.

Když se Achilles dostane na úroveň, kde byla původně želva, ta už je o kousek dále. Tuto úvahu si můžeme znázornit zakreslením rovnoběžek mezi obě čáry. Vytvoří mezi nimi jakýsi stupeň. Další stupeň bude menší a jak se čáry zbližují, tak se zmenšují i stupňě. Těch stupňů může být nekonečně mnoho, ale to nekonečno dá dohromady jen konečné množství vody. Důkazem je vzorec pro součet nekonečných řad. Nebo obráceně, důkazem platnosti vzorce pro součet nekonečných řad je geometrické znázornění Zenonovy aporey.

což se zdá být zbytečné. Vztah prvého a třetího řádku popisuje rovnice

Pokud známe rychlost a obou závodníků i náskok želvy b, pak snadno vypočteme bod dráhy, kde se závodníci míjejí.

V minulém století nás fysika postavila před novou formu Zenonova problému, radioaktivní rozpad. Zjistilo se, že se některé atomy rozpadají a vysílají paprsky alfa, beta a gama. Rychlost rozpadu má zajímavou vlastnost. Sledujeme- li určitý vzorek po následující konstantní časové úseky, pak se v nich rozpadne vždy polovina předešlého množství. Počet rozpadajících se atomů klesá a počet přeměněných atomů roste podle následujícího příkladu

Nová aporea má formu odpovědi na otázku, kdy se rozpadne poslední radioaktivní atom v pozorovaném vzorku. Když budeme vzorek pozorovat další poločas, budeme mít poloviční naději, že se tak stane, po dvou poločasech tříčtvrtinovou naději, avšak úplnou jistotu nebudeme mít nikdy.

Začátkem dvacátého století významný ruský matematik Markov (s iniciálami A. A., bylo jich stejného jména víc) ztrácel čas divnou zábavou: místo aby se kochal krásou Puškinových textů, počítal, kolikrát v nich po samohlásce následuje samohláska a kolikrát souhláska, a naopak, kolikrát v nich po souhlásce následuje souhláska a kolikrát samohláska.

Tento tvar má závažné důsledky. Jednotková diagonální matice má všechny vlastní hodnoty rovny jedné, Laplace-Kirchhoffova matice má jednu vlastní hodnotu nulovou, jejich součet má tedy jednu vlastní hodnotu rovnou jedné. Ostatní vlastní hodnoty jsou menší než jedna. Když se Markovovský operátor násobí, vlastní hodnoty se zmenšují, až zbude prakticky jediná vlastní hodnota, která odpovídá rovnovážnému stavu soustavy, na kterou operátor působí.

Soustava se nemusí k rovnovážnému stavu blížit po nejkratší dráze. Někdy se může blížit tak, že koncentrace oscilují, střídavě se zvětšují a zmenšují.

Dosud se lidské poznání rozvíjelo exponenciální rychlostí. Prvý si toho všimnul Sola Price. Získal do své pracovny všechny ročníky odborného chemického časopisu Journal Chemical Society. Když přemýšlel, co s tímto danajským darem, všimnul si, že z počátku jednotlivé ročníky byly jen útlé svazky, které pomalu tloustly, až musely být svazovány do několika svazků. Přírustek objemu se dal vyjádřit exponenciální řadou. Toto pozorování o růstu informace se neustále potvrzuje, nejnověji údaji o růstu Internetu, nebo o růstu operační rychlosti či paměti počítačů.

15. Entropie

Obvykle se začíná historií problému. Já začnu vysvětlením, jak jsem se vůbec k problému a jeho řešení dostal. S trochou nadsázky se dá říci, že jsem byl k řešení problému dohnán jako Robinzon na pustém ostrově, který se musel pod tlakem okolností naučit spoustu věcí zcela sám, bez učitelů. To se v mém případě ukázalo jako výhoda, protože jsem neopakoval jejich chyby.

V rámci normalizace jsem byl vykázán z chemické laboratoře. S trochou štěstí jsem se uchytil v patentovém oddělení výzkumného ústavu. Aby to nevypadalo, že nemám co na práci a nestal jsem se nadbytečným, musel jsem si sám zajišťovat zaměstnanost. Tak jsem si vymyslel patentové rešerše, ve kterých jsem se snažil zjistit, kolik vynálezů přihlašuje úspěšnější konkurence a jak asi velké jsou konkurenční výzkumné týmy.

Nejjednodušší popis dat jsem získal vynesením údajů na dvojitém logaritmickém papíru. Počáteční body leží na přímce, pouze chvost s nejproduktivnějšími firmami klesal strměji. Později jsem zjistil, že takové rozdělení objevil statistik Lotka, když se ještě před tím, než jsem se narodil, zajímal o produktivitu autorů všech chemických publikací v pětiletém rejstříku Chemical Abstracts. Takový tvar rozdělení je obecně platný pro všechnu informaci.

Řada autorů tento tvar rozdělení považuje za specifický pro informaci, ale naopak se může tvrdit, že v přírodě jsou taková rozdělení základní. Za příklad si můžeme vzít rozdělení velikosti částic, ve Vesmíru klesají počty od mikročástic, iontů a atomů, ke hvězdám a černým dírám o několik řádů, v živé přírodě tvoří podobně počátek takových řad jednobuněčné organismy. Na jejich koncích jsou velryby a sekvoje, těchto největších organismů existuje velmi málo.

Jednalo se o patenty z oboru výroby polyvinylchloridu. Rozdělení bylo deformované v tom smyslu, že v souboru chyběli největší světoví producenti. Příčinu, proč vedoucí firmy v sledovaném období omezily výzkum jsem zjistil teprve později, když vyšlo najevo, že v rozhodném období velké firmy financovaly výzkum výzkumu vlivu vinylchloridu na vznik rakoviny. Měly k dispozici jeho předběžné výsledky jako tajnou informaci. Firmy předpokládaly možný zákaz výroby a proto přestaly investovat do výzkumu v tomto oboru nebo změnily jeho zaměření. Pokles vynálezecké aktivity byl jen dočasný, v následujícím období se objevila řada vynálezů, které řešily nově vzniklé problémy, zmenšení obsahu stop vinylchloridu v polyvinylchloridu a zvýšení bezpečnosti práce s vinylchloridem.

Korelace se velmi vylepšila, když jsem použil substituci log(log₂(m_k + 1)!). Ten vykřičník ve vzorci není upozorněním na podivnost této substituce, ale je to, jak už snad víte, znak funkce faktoriálu, kterou jsem použil. Faktoriál je součin celé řady čísel 1 až n. Logaritmování změní součin na součet logaritmů. Druhé logaritmování by zobrazilo číslo 1 na minus nekonečno, proto je potřeba přidávat jednotku, binární logaritmus základní dvojku vydá jako jednotku, která při druhém logaritmování přejde na nulu.

Tuto trochu krkolomnou substituci jsem použil vlastně z nouze. Uvažoval jsem o korektnějším použití funkce součinu čísla k s jeho logaritmem (k logk), podle teorie informace, jenomže tyto hodnoty bych musel pracně počítat ručně, kdežto faktoriály jsem měl k dispozici ve formě tabulek, takže stačilo jej zlogaritmovat. Měl jsem trochu štěstí, za několik měsíců jsem si pořídil kapesní kalkulačku se všemi vědeckými funkcemi. Mimo tento praktický argument jsem měl představu, že logaritmuji polynomický koeficient (viz níže) podobně jako kdysi Boltzmann. Opakoval jsem si základy termodynamiky, protože jsem uvažoval o tom, že bych se mohl vrátit do laboratoře.

Logaritmicko-normální rozdělení informace, které je dobře použitelné i bez uvedené substituce, je rozdělení useknuté, protože počítá jen s určitými minimálními kvanty informace, kterými mohou být knihy, články, citace a podobně, takže nezná zlomky. Situace by se asi změnila, kdyby se zjišťoval počet stránek, slov nebo dokonce znaků v publikacích. Tak by se jedna publikace počítala jako několik tisíc slov a teoreticky by mohly existovat publikace pouze s několika mála slovy (název a jméno autora). Takové statistiky však představují jiný problém, dnes sice technicky řešitelný, ale zatím se to nedělá.

Tady se objevil nový problém: V jakém poměru jsou oba polynomické koeficienty a tím obě entropie? Rešerše týkající se funkce entropie už tehdy odkazovaly na několik set publikací. Neměl jsem chuť je všechny shánět, ale v jejich názvech jsem nenašel ani zmínku o tom, že by si někdo všimnul rozdílu, který jsem si uvědomil.

Oba koeficienty jsou uvedeny jen v dodatku k jednomu vydání Fischerovy monografie, ke které jsem se dostal až mnohem později. Jsou tam uvedeny bez bližšího vysvětlení jejjich významu.

Asi po roce přešlapování jsem se konečně rozhodl prostudovat si původní Boltzmannovu práci. Musel jsem na ni asi měsíc čekat, než byla volná, což se ukázalo jako výhoda, protože jsem mezitím začal chápat některé vlastnosti rozdělení čísla n.

Tehdy jsem měl už k dispozici kalkulačku z Tuzexu, takže výpočet čísla 7⁷ jako součtu 11 násobků dvou polynomických koeficientů byl rychlý (také to můžete zkusit, viz níže).

Bláhově jsem si myslel, že už mám vše za sebou, problém jsem uspokojivě vyřešil. To jsem netušil, že o mé řešení nebude nikdo stát, protože odporuje učeným knihám. Podařilo se mi je publikovat pouze v těch případech, kdy si recenzenti neuvědomovali význam problému. Jinak si nechtěli pálit ruce s doporučením k publikaci.

Boltzmannovo vysvětlení zapadlo do nečtených archivů tak dokonale, že ani nositel Nobelovy ceny za fysiku Steven Weinberg je nezná, ačkoliv téma patří do základního kurzu fysiky (3).
Partitio numerorum však použil už Boltzmann při řešení důležitého problému v termodynamice, při řesení rozdělení rychlostí molekul plynu a entropie. Ani nositel Nobelovy ceny za fysiku Steven Weinberg, ani žádný z přítomných fyziků to nevěděl.

Jiný recenzent v jiném časopise mi namítal, že navrhované řešení odporuje činnosti Maxwellova démona. Na základě zkušeností se socialismem, který se snažil řídit samovolně probíhající procesy, jsem ukázal, že Maxwellův démon stejnou činností molekuly nejen třídí, ale také míchá (pokud začne šíbovat molekuly rozdělené dle teploty, což je samovolný proces), takže jeho práce entropii zvyšuje i snižuje, případně kdyby pracoval v toroidní komoře (pneumatika), plyn uvede do cirkulace, takže dochází ke změně hybnosti plynu. Moje poznámka o činnosti démona vyšla, avšak původní publikace nikoliv.

Vlastní problém zkomplikovala Shannonova teorie spojení (4), považovaná všeobecně za teorii informace. Shannon použil formálně podobnou funkci H(m) jako míru informace, kterou zavedl jako axiom, aniž by se namáhal s vymezením rozdílu. Toho se chopila řada autorů, axiomatická forma se jim zdála dokonalejší a lepší než zpochybňovaná funkce H(n). Fysik Brillouin, kterému prý unikla Nobelova cena za fysiku, dokonce zapletl do vysvětlení předpokládaného vztahu mezi informací a entropií zmíněného Maxwellova démona. To byla druhá tragedie v této historii, tentokrát vědecká. Vztah mezi oběma entropiemi lze totiž odvodit od rozdělení, které je známé pod Brillouinovým jménem.

Při formální integraci se ve vzorci objeví logaritmus teploty.

H = - ? (n_k/n)log(n_k/n)

kde n_k je počet molekul s energií k, n je celkový počet molekul. Při tom platí