Sign In Sign-Up

Welcome!

Close

Would you like to make this site your homepage? It's fast and easy...

Yes, Please make this my home page!

No Thanks

  Don't show this to me again.

Close

Dva nejprestižnější světové vědecké časopisy Nature (1) a Science (2) přinesly statistiku spojitosti Internetu, kterou zjistili Albert a Barabasi (maďarsky znějící jména, ale jsou to fyzici pracující v USA). 325726 míst Internetu má průměrný počet připojení 5,46. Připojení jsou rozdělena velmi nerovnoměrně. Na každých 100000 míst s jen jedním připojením připadne jen asi 1000 míst s deseti připojeními a jen asi 10 míst se sto připojeními.

Tato statistika ukazuje nevhodnost přirovnání Internetu k mozku. Vzhledem k prostorovým omezením se mohou jednotlivé mozkové buňky spojovat nervovými vlákny, axony, pouze k několika dalším neuronům. Velká centra WWW bychom měli srovnávat s celými oblastmi mozku, jako je třeba centrum řeči. I když je WWW nový jev, samotná statistika vůbec nepřekvapuje, protože má stejný tvar, jako všechna známá rozdělení informace. Co překvapuje, je to, že v oněch renomovaných časopisech nikdo nežádal, aby autoři doplnili do svých článků příslušnou literaturu. Tak to musíme udělat za ně.

Už před padesáti léty se nadbytečnost lidské řeči pokoušel pragmaticky využit pan Zipf. Chtěl určit, jaká slovíčka se mají přistěhovalci naučit jako prvá, aby se v nové zemi, USA, co nejrychleji dorozuměli. Výsledkem jeho práce byla pořádková statistika. Nejčastěji se vyskytující slovo (v angličtině určitý člen the) se vyskytovalo několikrát častěji (nebo jinak, tvořilo několikrát větší podíl textů) než slovo druhé. Frekvence slov v logaritmické stupnici krásně korelovala s jejich pořadím ve frekvenčním slovníku. Dá se předpokládat, že pořádková statistika by se mohla aplikovat i pro Internet.

Téměř současně se Zipfem si americký statistik Lotka dal práci se spočítáním počtu publikací jednotlivých autorů v desetiletém rejstříku Chemical Abstracts (5). Neznám podnět k jeho práci. Za druhé světové války za německých náletů na Anglii se utěšoval jiný statistik, Yule, tím, že zjišťoval frekvenci podstatných slov ve svých zamilovaných knihách.

Oba statistici použili metodu jako Albert a Barabasi a dospěli už tenkrát ke stejnému výsledku. Nejčastěji se objevili autoři s jednou publikací nebo slova použitá jen jednou. Autoři s jednou publikací tvoří vědecký plebs, jsou asi málo schopní nebo líní chudáci, kteří se nezmohli na víc, nebo jsou to pouzí pomocníci připsaní některým koryfejem vědy z milosti na společnou publikaci. To zvláštní slovo (koryfej, neměl bych jej opakovat, už se dostalo do skupiny slov použitých dvakrát a ztratilo svůj glanc) jsou slova řídká a proto vzácná. Pečlivým autorům dá hodně práce, aby je vyhledali ve své paměti nebo v nějakém jiném thesauru. Jejich vysoký podíl v textu se považuje za příznak dobrého stylu.

Podobný tvar má i Zipfova statistika, kde se těžko zachycují skutečné frekvence vzácných slov. Při tom se většinou dají oba typy statistik, pořádková i frekvenční, použít pro stejné údaje.

Zipfova a Lotkova statistika nejsou jedinými možnými způsoby pro korelaci podobných dat. Nositel Nobelovy ceny za fyziku Shockley použil pro vyhodnocení svých podřízených počtu jejich publikací jednoduše papír s logaritmicko normálním rozdělením (8). Rozdělení logaritmicko normální je useknuté frekvencí 1, jejíž logaritmus je 0. Při tom podíl objektů s touto frekvencí je blízký polovině všech objektů. Obvyklé algoritmy pro výpočet hodnot logaritmicko normálního rozdělení proto selhávají.

Při použití logaritmicko normálního rozdělení je obvykle podíl objektů s nejnižšími frekvencemi vyšší, než by odpovídalo ideálnímu rozdělení. To se dá napravit exotickou substitucí z = log2(x + 1)!, která dá pro x = 1 log z = 0 (9).

Internet se liší od jednoduché řady slov v textu (rejstřík Chemical Abstract je text, ve kterém jsou jednotlivé publikace (lze považovat za opakování symbolu představovaného celým jménem autora) shrnuty na jedno místo, tím že se jedná o síť. Avšak i autoři vytvářejí síť. Protože existuje instituce spoluautorství, vytváří se sítě autorů. Maďaři by mohli vědět o existenci Ramsayova čísla, jak daleko je někdo v grafu spoluautorů od Erdose. Použijeme také teorii grafů, jako Albert a Barabasi.

Nejdříve zdánlivě jednoduché věci proměníme ve složitý problém. Řadu slov v textu si znázorníme pomocí matice, kterou jsem nazval naivní (10). Místo symbolů budeme psát jen jednotky do sloupců jejichž číselný index j odpovídá pořadí daného symbolu v abecedě (jinými slovy, indexování je lexikografické. Pro pořadí symbolu v textu budeme používat řádkový index i. Slovu abcba bude odpovídat zápis 111122133142151 nebo 11a12b13c14b15a, což ukazuje, že v textu je index i vlastně nadbytečný. Názorněji se zapíše abcba jako matice N s třemi sloupci a pěti řádky:

S maticí N můžeme provádět operaci zvanou permutace, při které měníme pořadí sloupců (n permutace) nebo řádků (m permutace).

K popisu Internetu musíme použít složitější matice S, které se říká incidenční. Prvky matice S jsou sij = -1, pokud i-tá orientovaná hrana (spojení) vychází z vrcholu j, sij = 1, pokud i-tá orientovaná hrana končí ve vrcholu j, jinak sij = 0.

dostaneme incidenční matici S hvězdného lesu. Vrchol a má dvě hrany, vrchol b má také dvě hrany a vrchol c má jednu hranu, každá hrana má svůj vlastní index. Názvosloví teorie grafů je poetické. Grafům bez cyklů říká lesy, vrcholům lesů s jenom jednou hranou listy, množině stromů les.

K incidenční matici S můžeme najít její kvadratické formy S^TS a SS^T. Nás bude zajímat matice S^TS, známá jako matice Laplace-Kirchhoffa. Laplace použil matice tohoto typu jako prvý a Kirchhoff je použil k popisu elektrických sítí.

Laplace-Kirchhoffovu matici můžeme formálně rozdělit na diagonální matici V, jejímiž prvky jsou počty hran (Albert a Barabasi zjistili tuto matici) a matici mimodiagonálních prvků A, S^TS = V - A. Matice A je známá jako matice sousedství (adjacency). Albert a Barabasi se zabývali maticí V.

Teď bychom se mohli věnovat teorii Laplace-Kirchhoffových matic (11). Spokojíme se s jejím rozdělením na dvě matice. Albert a Barabasi se zabývali maticí V. Tuto matici dostaneme také jako kvadratickou formu matice N. N^TN je matice N násobená transponovanou maticí N^T zleva. Je to jen diagonální matice V, matice mimodiagonálních prvků A je v N^TN nulová. Nebo můžeme rozsekat síť na hvězdný les, graf všech center se všemi linky spojenými s těmito centry (každé spojení se bude počítat dvakrát).

Když se budeme zabývat počtem možných lesů (12), zjistíme, že závisí na dvou polynomických koeficientech, jeden odpovídá permutaci sloupců (n permutace), druhý odpovídá permutaci řádků (m permutace). Tím se dostáváme k dalšímu klíčovému problému, k informační entropii a fyzikální entropii a jak se skutečně projevují.

Abychom oddělili vliv n a m permutací, budeme se zabývat nejprve kvadratickou formou matice N, N^TN. To jsou pro náš příklad čísla 2,2,1. Existují tři možnosti změny jejich pořadí: (2,2,1), (2,1,2) a (1,2,2). Tomu odpovídají řady aabbc, aabcc a abbcc. Počet n permutací se zjistí pomocí polynomického koeficientu, který má tvar

kde n! znamená n faktoriálně (n! = 1*2*3*4*...*n), n je počet sloupců matice, P je symbol pro násobení a n_k je počet sloupců matice se stejným počtem k jednotkových prvků ve sloupci matice, nebo počet stejných prvků diagonální matice N^TN. Funkce faktoriálu má jednu podivuhodnou vlastnost, že 0! = 1. To znamená, že pokud n_k je nulové, hodnota polynomického koeficientu se nemění a k může být v intervalu nula - nekonečno. Každý index k se vyskytuje pouze jednou, avšak hodnoty n_k pro různá k mohou být stejné.

kde m je počet řádků matice (počet symbolů), m_j počet výskytu (frekvence) symbolu j. Protože v textu se mohou vyskytovat symboly se stejnou frekvencí, jejich počet jsme výše označili jako n_k, je možné vzorec přepsat tím, že sdružíme hodnoty mj se stejnou frekvencí k .

Kdyby se jejich počet určoval jen podle n permutací, potom by bylo nejlepší kdyby polynomický koeficient pro n permutace měl tvar n!/1!*1!*1!...1n!. To znamená, že každý vrchol by měl jinou frekvenci. Takový počet hran má úplný graf (každý vrchol je spojen se všemi ostatními). Průměrný počet připojení v takové síti je však mnohem vyšší než počet vrcholů sítě, což jistě není případ Internetu, kde průměrný počet připojení je relativně malý (5,46).

A kdyby se počet hvězdných lesů určoval jen podle m permutací, potom by bylo nejlepší kdyby polynomický koeficient pro m permutace měl tvar m!/1!*1!*1!...1n!. To je splnitelné pro m = n, počet připojení by měl být stejný jako počet vrcholů a průměr by byl 1. Optimum pro jiné poměry m ku n je vždy průměrná hodnota m/n. Jenže potom n_k = n, všechna m_j či m_k jsou stejná a polynomický koeficient pro n permutace má minimální vždy hodnotu 1.

Polynomický koeficient pro n permutace spojil Boltzmann (13) s termodynamickou entropií, když vyslovil domněnku, že tato entropie je úměrná logaritmu tohoto koeficientu, nebo jinak logaritmu pravděpodobnosti (počet stavů ke všem stavům). To vedlo k rovnici

Pokud jsou současně možné oba typy permutací, potom se oba polynomické koeficienty násobí, což znamená, že jejich logaritmy se sčítají. Třeba soustava molekul ideálního plynu, které si představujeme jako pouhé body, jsou reprezentovány jen maticí N^TN. Zde nemají smysl permutace jednotlivých kvant energie, vytvářené rychlostí pohybu molekul v soustavě. U molekul reálného plynu m permutace mohou být závislé na tvaru molekul, rozdělení hmotností a podobně.

Sola Price, který se zabýval problémy rozvoje vědy, zastával optimistickou teorii, že úspěch budí úspěch. Prvé publikace usnadňují vytvoření dalších, prvé použití slova vytváří tendenci, abychom je opakovali. Ke stejnému výsledku však vede pesimistický algoritmus vysvětlující rozdělení bohatství (Paretův zákon, platící pro rozdělení majetku a když považujeme vědomosti za majetek, potom Zipfův a Lotkův zákon jsou jen zvláštní případy Paretova zákona). Podle Bible prý tomu, kdo má, bude přidáno, a tomu, kdo nemá, bude vzato i to, co má.