O jednu víc než v Sarajevu
Náhodou jsem zabrousil ke konkurenci a narazil jsem na stránku, jejíž tvůrce měl potíže s čtyřrozměrnou koulí.
Zjistil jsem, že jsem na tom podobně a tak jsem se problémem trochu zabýval.
Všichni se shodneme na tom, že trojrozměrná krychle má šest stran a čtverec strany čtyři.
Těleso musí být v každém směru omezeno přední a zadní stranou. To znamená, že čtyřrozměrná krychle má osm stran.
Strana tělesa musí těleso omezit, musí ucpat celou plochu v daném směru. Ta plocha má o jeden rozměr méně, než vlastní těleso, což znamená, že u čtyřrozměrné krychle je takovou stranou trojrozměrná krychle. Toto tvrzení se dá při troše trpělivosti ověřit na náčrtu.
Osm stran má i čtyřrozměrná koule. S analogie s koulí či kruhem vepsaných do krychlí nebo čtverců dospějeme k poznání, že čtyřrozměrná koule se nám objeví jako osm trojrozměrných koulí.
Obvod kružnice je pd. Ve srovnání s obvodem čtverce o stejné hraně d, došlo ke zkrácení obvodu zaoblením rohů z 4 na p. Podobný poměr platí i pro plochy. Plochu kruhu dostaneme snadno integrací podle obvodu. Jpd jsou přibližně trojúhelníky.
Povrch koule je pd2. Ve srovnání s povrchem krychle o stejné hraně d, došlo ke zkrácení zaoblením rohů z 6 opět jen na p. Objem koule je 1/6 pd2, což znamená opět stejný poměr.
Nejjdnodušší pokračování pro čtvrtý rozměr je: povrch pd3 a objem 1/8 pd4.
Teď se ještě vrátíme k otázce, jakou stranu a povrch má přímka. Úsečka má stranu 2d0, což znamená že má dva konce a délku má d.Teď můžeme sestavit tabulku

Nebylo by těžké doplnit na prázdná místa tabulky hodnoty p a p/2 d.
Obtížné je nalézt pro ně smysluplnou interpretaci. Nevyznám se ve sférické geometrii, abych si na něco podobného troufl.
Zajímavá je interpolace vzorců pro Hilbertův prostor. Nekonečně rozměrná koule o konečném průměru má konečně velký povrch a nekonečně malý objem.