|
|
UKONČENÝ PETROHRADSKÝ PARADOX
V Scienceworld (2. dubna 2003) se rozvinula diskuse o problému známém v teorii pravděpodobnosti jako Petrohradský paradox. Pro jistotu vše důležité zopakujeme.
Tamní důstojníci si krátili čas házením mincí. Prvá sázka, třeba na orla (pro nás 1) byla 1. Pokud orel padl, hráč vyhrál stejnou sumu, jako vsadil. Když padla hlava, sázka se zdvojnásobila a hra pokračovala do další výhry nebo jiného konce vynuceného okolnostmi hry. Daniel Bernoulli se v roce 1783 divil, že zkušení hráči nechtěli vsadit více než 3 až 40 rublů na výhru, ačkoliv sám věřil a domníval se, že i dokázal, že průměrná výhra musí být nekonečně velká.
Feller po
ukázal, že pokud hra v určitém okamžiku skončí bez výhry, pravděpodobnost není úplná a pokoušel se najít limit sázky podle délky hry n jako S/nlog n.Zdá se však, že nikdo neanalyzoval uvažování hráčů.
Všichni víme, že každá hra jednou končí. Nekonečné opakování je jednotvárné a omrzí se, tak toho nechme a zahrajme si něco víc vzrušujícího, třebas ruskou ruletu. V Petrohradu se noční kluby určitě ráno zavíraly, bylo nutné nastoupit do služby, či hráč se zruinoval a bankéř nechtěl přijat jeho čestné slovo
a konečně hráč nebyl schopen pokračovat ve hře pro společenskou únavu.Na překážku příliš vysokým výhrám bylo pravidlo, že nová hra začíná od nejnižší sázky. Není jasné, zda neplatilo další
Napíšeme všechny možné výsledky série tří hodů mincí. Ztrátu považujeme u nedokončené hry.
|
Sekvence |
Výhry (ztráty) |
||||
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
-1 |
|
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
2 |
|
0 |
1 |
1 |
0 |
2 |
1 |
|
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
-2 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
2 |
-1 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
4 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-4 |
Snadno zjistíme, že osmkrát skončila hra výhrou jednoho rublu, třikrát dvou rublů a jen jednou z celkem 16 her jsme mohli vyhrát 4 rubly. Čtyřikrát zůstala hra nedohrána.
Teď si sestavíme tabulku všech možných výsledků všech her dané délky a spočítáme průměrné výhry:
|
Délka |
Počet hodů |
Počet her |
Nedohráno |
Výhry |
Celková výhra |
Průměr |
||||||
|
n |
1 |
2 |
4 |
8 |
16 |
32 |
64 |
|||||
|
x |
- |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
2 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
0,5 |
|
2 |
8 |
6 |
2 |
3 |
1 |
|
|
|
|
|
5 |
0,833 |
|
3 |
24 |
16 |
4 |
8 |
3 |
1 |
|
|
|
|
18 |
1,125 |
|
4 |
64 |
40 |
8 |
20 |
8 |
3 |
1 |
|
|
|
56 |
1,400 |
|
5 |
160 |
96 |
16 |
48 |
20 |
8 |
3 |
1 |
|
|
160 |
1,666 |
|
6 |
384 |
224 |
32 |
112 |
48 |
20 |
8 |
3 |
1 |
|
432 |
1,928 |
|
7 |
896 |
512 |
64 |
256 |
112 |
48 |
20 |
8 |
3 |
1 |
1120 |
2,187 |
Počet hodů je vždy n x 2n
, výjma hry délky x a 0, což jsou jen technické doplňky, které budou osvětleny dále. Počet her je vždy rozdíl mezi následujícími počty hodů, tedy (n+1) x 2n-1. V souboru (n-1) hodů je (n-1) x 2n-2 jednotek, které představují konec hry. Nedohráno zůstává 2n-1 her, což je součet řady mocnin čísla 2 (1 + 1 +2 + 4 +).(Tady musím přiznat, že tabulka je mou hypotézou, protože od pátého řádku jsem byl líný přímo počítat a pomohl jsem si domněnkou o tvaru invezní matice počtu výher.)
Počet her končících po prvém hodu je (n+1) x 2n-3. Ke všem 2
n-1 kratším sekvencím an-1 přidáme na prvém místě 1, což dá stejný počet ukončených her. K nim musíme připočítat dvakrát počet her délky 1 v obou kratších sekvencích a odečíst hry v kratší sekvenci končící u po prvém hodu, což je 2n-2. 2n-1- 2n-2 = 2n-2. To dá rekurentní vzorec, podle něj lze snadno najít i vzorce pro další sloupce.Poměr těchto nejkratších her her v celkovém počtu je 0,5. V posledním sloupci vidíme, že průměrná výhra roste jen pomalu.
Když si položíme otázku, jaká byla rychlost hry, kolik hodů za minutu byl průměr, než se vyplatily výhry či zdvojily sázky, vyslechly komentáře kibiců a upilo se na štěstí, tak dojdeme k závěru, že když jedno sezení netrvalo déle než jednu noc, tak to mohlo být maximálně několik tisíc hodů.
Lze analýzovat i možné ztráty z nedokončených her, kdy poslední sázka zůstane na stole.
Jednoduchá analýza dá jednoduchý výsledek. Taková ztrát
a je přímo závislá na délce hry n. Je dána výrazem (n +1)/4. Roste rychleji než průměrná výhra.Dále není jasné, zda bankéř a házející si při skončení hry neměnili úlohy, což by určitě průměrnou výhru zmenšovalo.
Když vyškrtáme nedokončené hry, můžeme si soubor našich konečných her představit jako model dosti dlouhé hry. Průměrná výhra je mnohem nižší než výhra z úplné pravděpodobnosti. Zkušení hráči sázeli na průměrný výsledek asi 50 her. A to má do úplné pravděpodobnosti hodně daleko. V reálném životě n
elze sázet na úplnou pravděpodobnost, každá série skončí nejpozději v polovině nekonečnosti.Abychom nezůstali u teorie, zkusme nějakou hodně dlouhou hru. Místo mince či generátoru náhodných čísel použijeme číslo e, ve kterém jsou číslovky rozděleny náhodně
(viz mujweb.cz/veda/kunzmilan ). 10000 číslic dekadického zápisu čísla e bylo převedeno na binární zápis, který měl 11246 číslic. Byly zjištěny vzdálenosti mezi následujícími 1. Prvých 4559 vzdáleností bylo analýzováno programem Statgraphic jako negativně záporné rozdělení s pravděpodobností 0,4955.Výsledek chisquare testu je zachycen v následující tabulce:
|
Délka řady |
Pozorovaná frekvence |
Očekávaná frekvence |
Chisquare |
Výhry |
|
1 |
2207 |
2259,2 |
1,2052 |
2207 |
|
2 |
1209 |
1139,7 |
4,2189 |
2418 |
|
3 |
538 |
574,9 |
2,3696 |
2152 |
|
4 |
309 |
290,0 |
1,2425 |
2472 |
|
5 |
161 |
146,3 |
1,4768 |
2576 |
|
6 |
72 |
73,8 |
0,0440 |
2304 |
|
7 |
38 |
37,2 |
0,0159 |
2432 |
|
8 |
14 |
18,8 |
1,2171 |
1792 |
|
9 |
4 |
9,5 |
3,1630 |
1024 |
|
10 až 13 |
7 |
9,6 |
0,7252 |
|
Chisquare = 15,6783 s 8 stupni volnosti. Hladina významnosti = 0,0472231.
Součet výher v prvých 9 řádcich je 19377 rublů, což dá průměrnou výhru 4,2568 rublu. Když odhadneme výhry, které program kumuloval jako delší než 9 následovně
|
Délka řady |
Pozorovaná frekvence |
Očekávaná frekvence |
Chisquare |
Výhry |
|
10 |
3 |
4 |
|
1536 |
|
11 |
2 |
3 |
2048 |
|
|
12 |
1 |
1 |
|
2048 |
|
13 |
1 |
1 |
|
4096 |
zvýší se celková výhra na 29105 rublů a průměrná výhra na 6,3840 rublů.
Výhry jsou poloviční než je počet her, což je rozdíl proti řešení v Scieneworldu, kde byly sečteny výhra s vrácenou sázkou. Příklad ukazuje, že průměrná výhra roste s délkou hry.
Tak dlouhé hry však přestávají být hrami a stávají se únavnou prací. V Petrohradě žádný hráč úplnou pravděpodobnost nikdy neviděl. Z velikosti sázky, kterou byli hráči vsadit, by se dala zjistit obvyklá délka hry. Lze konstatovat, že příčinou Petrohradského paradoxu je neúplná pravděpodobnost.
K tabulce shora lze nalézt inverzní matici, která má jednoduchý tvar
|
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
-1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
-1 |
-1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
-1 |
-1 |
-3 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
-1 |
-1 |
1 |
-3 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
-1 |
-1 |
1 |
1 |
-3 |
1 |
0 |
0 |
|
-1 |
-1 |
1 |
1 |
1 |
-3 |
1 |
0 |
|
-1 |
-1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
-3 |
1 |
Počet hodů je součet všech dalších sloupců podobně jako je počet her součet všech dalších sloupců, které rozdělují hry podle vý
sledkuLiteratura
William Feller An Introduction to Probability Theory and its Applications, J.Willey, New York, 1970, kapitola 10.4.